Внутри. Снаружи. Границы фигур

Определения и обозначения

Внутренняя область фигуры — часть плоскости, расположенная внутри её границы. Это все точки, которые находятся в замкнутом контуре и не лежат на самой линии края. Понятие помогает отличить заполненную часть фигуры от её контура.

Внешняя область фигуры — часть плоскости, расположенная снаружи её границы. Она окружает фигуру и не входит в её внутреннюю часть. С её помощью определяют, какие точки не принадлежат области, ограниченной контуром.

Граница фигуры — линия или множество точек, отделяющее внутреннюю область от внешней. Для треугольника границей служат три его стороны, а для круга — окружность. Граница нужна, чтобы точно определить край фигуры и положение точек рядом с ним.

Положение точки относительно фигуры — нахождение точки внутри, снаружи или на границе фигуры. Одну и ту же точку описывают именно так, сравнивая её с контуром. Это позволяет классифицировать точки на чертеже без измерений и вычислений.

Как это устроено

Плоскость вокруг замкнутой фигуры разделяется на три части, потому что граница проходит между двумя разными областями. С одной стороны контура находятся точки внутренней области, с другой — точки внешней области, а сами точки контура не относятся ни к одной из этих областей. Так получается полное описание положения любой точки: она внутри, на границе или снаружи.

По рисунку сначала находят линию, которая образует край фигуры. Если точка лежит прямо на этой линии, она находится на границе. Если точка расположена в замкнутой части, окружённой контуром, она внутри; если между точкой и внутренней частью можно мысленно пройти через границу наружу, точка находится снаружи.

Граница принадлежит фигуре, потому что без неё фигура не имела бы чётко определённого края. Точка внутри удалена от границы хотя бы на небольшое расстояние, а точка на границе совпадает с линией контура. Поэтому эти положения нельзя смешивать, даже если на рисунке линия очень тонкая.

Замкнутая линия полностью ограждает некоторую часть плоскости: начав движение по ней, можно вернуться в исходную точку. Эта часть становится внутренней областью, а всё пространство за линией — внешней. Незамкнутая линия имеет концы и обычно не выделяет отдельной внутренней области, потому что через один из концов можно обойти линию.

Одна точка не может одновременно быть внутри и снаружи одной фигуры, поскольку эти области разделены границей и не пересекаются. Переход из внутренней области во внешнюю требует пересечь контур. Если точка лежит на самом контуре, это третье положение, а не одновременное нахождение внутри и снаружи.

Положение точки относительно фигуры

Пользуйся таблицей так: сначала найди границу, затем проверь, совпадает ли с ней точка. Если точка не на линии, определи, лежит ли она в замкнутой части или за её пределами. Принадлежность фигуре включает внутреннюю область и её границу.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке изображён треугольник и несколько точек. Нужно определить, какие точки находятся внутри треугольника, какие — на его границе, а какие — снаружи.

1. Сначала рассматриваем три стороны треугольника как его границу.
2. Проверяем каждую точку: если она лежит на стороне, относим её к точкам границы.
3. Точки, расположенные в области, ограниченной тремя сторонами, являются внутренними.
4. Оставшиеся точки лежат вне треугольника и относятся к внешней области.

Такой порядок помогает не принять точку на стороне за внутреннюю: положение на границе выделяют отдельно. Ответ записывают группами по названиям или буквам точек, указанным на рисунке.

Задача 2

Нужно обвести границу нарисованной фигуры и раскрасить отдельно её внутреннюю и внешнюю области.

1. Находим замкнутый контур и проводим его по линии, не захватывая соседние участки плоскости.
2. Внутри контура выбираем один цвет или способ штриховки.
3. Всю часть плоскости за контуром отмечаем другим цветом.
4. Саму границу оставляем различимой, потому что она отделяет две области и принадлежит фигуре.

Проверка проста: внутренняя область должна быть полностью окружена контуром, а внешняя — находиться по другую сторону линии. Если цвет пересёк границу, раскраску нужно исправить.

Задача 3

Даны несколько замкнутых и незамкнутых линий. Требуется определить, какие из них имеют внутреннюю и внешнюю области, и объяснить ответ.

1. Для каждой линии проверяем, соединяется ли её конец с началом и образует ли она замкнутый контур.
2. У замкнутой линии находим часть плоскости, окружённую линией; это внутренняя область.
3. Всё пространство с другой стороны контура считаем внешней областью.
4. У незамкнутой линии отмечаем отсутствие отдельной внутренней области: её концы оставляют проход вокруг линии.

Ответ обосновывают не размером или формой линии, а её замкнутостью. Даже неровный замкнутый контур выделяет внутреннюю область, а ровная незамкнутая дуга — нет.

Типичные ошибки

Точку на линии называют внешней. Так делают, потому что она не выглядит явно расположенной внутри. Нужно помнить: линия образует границу, поэтому точка на ней принадлежит фигуре и не является внешней.

Границей считают всю фигуру целиком. Ошибка возникает из-за смешения фигуры и её края. Проверь себя: граница должна быть именно линией или набором точек, который отделяет внутреннюю область от внешней.

Внутреннюю область путают с границей. Иногда в неё включают только точки, удалённые от края, а сам контур забывают. Разделяй понятия: внутренняя область находится внутри, граница проходит по краю, хотя обе части принадлежат фигуре.

Положение точки определяют по расстоянию до центра. У произвольной фигуры центра может не существовать, а близкая к центру точка всё равно может оказаться снаружи. Надёжная проверка — сравнить точку с границей и установить, по какую сторону контура она находится.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать, что такое точка, линия, отрезок, замкнутая линия и простейшие геометрические фигуры. Эти понятия помогают увидеть контур, понять его устройство и отличить замкнутую фигуру от незамкнутой.

Дальше различение внутренней области и границы понадобится при изучении площадей, периметров, многоугольников и кругов. Оно также помогает описывать взаимное расположение фигур: пересечение, касание и нахождение одной фигуры внутри другой.

Что запомнить

• Граница отделяет внутреннюю область фигуры от внешней.
• Точка относительно фигуры может находиться внутри, на границе или снаружи.
• Внутренняя и внешняя области не пересекаются.
• Точки границы принадлежат фигуре.
• Замкнутая граница выделяет на плоскости внутреннюю область.
• Чтобы определить положение точки, нужно сравнить её с границей, а не только с центром фигуры.