Ломаные линии. Замкнутые и незамкнутые линии

Определения и обозначения

Ломаная линия — линия, составленная из отрезков, соединённых последовательно концами. Иначе говоря, конец одного отрезка становится началом следующего, и вместе они образуют путь из прямых участков. Это определение помогает отличить ломаную от отрезков, которые просто нарисованы рядом.

Звено ломаной — один из отрезков, образующих ломаную. Звенья можно мысленно пройти одно за другим, чтобы проследить весь путь. Это название удобно, когда нужно считать отрезки или сравнивать их длины.

Вершина ломаной — общая точка двух соседних звеньев; у ломаной также есть концы. В вершине линия меняет направление, а конец — крайняя точка, к которой подходит только одно звено незамкнутой ломаной. Различать эти точки нужно, чтобы правильно описывать устройство линии.

Замкнутая ломаная имеет совпадающие концы, а у незамкнутой ломаной они разные. У замкнутой линии путь возвращается в точку, откуда начался. Это различие позволяет классифицировать ломаную независимо от её формы.

Как это устроено

Представьте, что вы выкладываете путь из нескольких отрезков. Чтобы получилась ломаная, конец первого отрезка должен совпасть с началом второго, затем конец второго — с началом третьего и так далее. Именно последовательное соединение создаёт единый путь; если оставить промежуток, линия прервётся, а если отрезки просто положить рядом, единого маршрута не получится.

Каждая точка соединяет два отрезка, стоящих рядом в этом порядке, поэтому она является вершиной. Например, если идти от начала к концу, то звенья номер два и три соседние, а первое и третье — несоседние. Последние могут пересечься или оказаться рядом, но такое соприкосновение само по себе не делает их соседними звеньями: соседство определяется порядком следования, а не расположением на листе.

Чтобы не перепутать вершины с концами, начните прослеживать незамкнутую ломаную с крайней точки. В ней к началу и к концу подходит по одному звену, а к каждой внутренней точке соединения — по два соседних звена. Поэтому конец отмечает границу пути, а вершина показывает место перехода с одного звена на следующее.

Замкнутость определяют, пройдя по всей линии от выбранного начала до конца. Если после последнего звена вы вернулись туда, откуда начали, начало и конец совпадают и ломаная замкнута. Если путь закончился в другой точке, она незамкнутая; форма контура и его сходство с известной фигурой здесь не являются главным признаком.

Число звеньев помогает посчитать точки соединения, но само по себе не показывает, замкнулась ли линия. У незамкнутой ломаной из четырёх звеньев три внутренние вершины и два конца; если соединить крайние точки, появится ещё одно звено. После такого замыкания конец последнего звена совпадёт с началом первого, а точек соединения станет столько же, сколько звеньев.

Сравнение замкнутой и незамкнутой ломаных

Пользуйтесь таблицей, сравнивая в первую очередь начало и конец линии: это главный признак. Остальные строки помогают проверить ответ и описать, как соединены звенья. Внешний вид может быть непривычным, поэтому лучше проследить путь целиком.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке отмечены несколько отрезков, соединённых концами. Определите, образуют ли они ломаную.

1. Проверьте, можно ли расположить отрезки в определённом порядке так, чтобы конец каждого звена совпадал с началом следующего. Это важнее, чем просто близость отрезков на рисунке.
2. Проследите путь от одного крайнего отрезка дальше по линии. У каждой пары соседних звеньев должна быть общая точка-конец.
3. Если все отрезки входят в такую последовательность, они образуют ломаную; если хотя бы один отрезок не удаётся включить в общий путь, условие не выполнено.

Ответ. Отрезки образуют ломаную, если их можно пройти в последовательном порядке, переходя с каждого звена на следующее через общую конечную точку.

Задача 2. Ломаная состоит из четырёх звеньев. Укажите её вершины и концы и определите, сколько у неё вершин.

1. Проследите линию от одного конца к другому и обозначьте точки по порядку: A, B, C, D, E. Тогда звеньями будут AB, BC, CD и DE.
2. Найдите точки, где соединяются соседние звенья: это B, C и D. Крайние точки A и E — концы незамкнутой ломаной, а не внутренние вершины.
3. Сосчитайте точки соединения: их три. Проверка: у незамкнутой ломаной с четырьмя звеньями между соседними звеньями три места соединения.

Ответ. Вершины — B, C и D, концами являются A и E; всего у этой незамкнутой ломаной три вершины.

Задача 3. Из пяти отрезков составлены две фигуры: в первой начало и конец совпадают, во второй не совпадают. Классифицируйте линии и объясните различие.

1. Для первой фигуры проследите все пять звеньев от начальной точки. Поскольку после последнего звена путь возвращается в ту же точку, линия замкнутая.
2. Для второй фигуры проделайте такую же проверку. Её конечная точка отличается от начальной, значит, линия незамкнутая.
3. Сравните результаты: обе линии составлены из пяти отрезков, но их концы соотносятся по-разному. Следовательно, число звеньев не определяет тип ломаной.

Ответ. Первая линия — замкнутая, вторая — незамкнутая; различие в том, совпадают ли начало и конец.

Типичные ошибки

Ошибка — называть ломаной любые несколько отрезков. Так можно решить из-за того, что все отрезки на рисунке кажутся частью одной фигуры, хотя они могут быть разобщены или соединены не концами. Проверьте себя: проследите один непрерывный путь и убедитесь, что соседние звенья действительно сходятся в общей точке.

Ошибка — считать вершинами только крайние точки. Их часто замечают первыми, но крайние точки незамкнутой ломаной называют концами, а вершины — это места соединения соседних звеньев. Проверьте каждую отмеченную точку: если к ней подходят два соседних звена, это вершина; если одно — конец.

Ошибка — определять замкнутость по тому, похожа ли линия на круг, треугольник или другую привычную фигуру. Необычная форма может отвлечь от главного признака, а зрительное впечатление не показывает, совпали ли крайние точки. Проверьте себя, пройдя линию от начала по всем звеньям до конца.

Ошибка — путать звено и вершину. Это происходит потому, что оба понятия связаны с соединением частей линии, но звено — отрезок, а вершина — точка. Чтобы проверить ответ, спросите себя, что именно вы называете: участок пути или место, где два участка сходятся.

Связь с другими темами

Для изучения ломаных нужны понятия точки и отрезка, а также умение отмечать концы отрезка. Без этого нельзя проверить, соединены ли звенья последовательно и где находятся вершины. Поэтому ломаная опирается на уже знакомые геометрические объекты и способы их изображения.

Ломаные пригодятся при изучении многоугольников: их стороны образуют замкнутую ломаную. Длину пути по звеньям можно находить, складывая длины отрезков, — этот способ связан с периметром и измерением расстояний. Так простое описание линии помогает решать задачи о фигурах и маршрутах.

Что запомнить

• Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков.
• Отрезки, образующие ломаную, называются её звеньями.
• Общие точки соседних звеньев — вершины ломаной.
• У незамкнутой ломаной начало и конец различны.
• У замкнутой ломаной начало и конец совпадают.
• Количество звеньев само по себе не определяет, замкнута ли ломаная.