Длина

Определения и обозначения

Длина — характеристика отрезка, показывающая, насколько он протяжён. Иными словами, она описывает размер отрезка от одного конца до другого. Это понятие нужно, чтобы сравнивать отрезки и находить размеры фигур.

Единица длины — выбранный эталон, с которым сравнивают длину отрезка. Такой эталон должен быть одинаковым для всех измерений: например, миллиметр, сантиметр или метр. Общая единица позволяет получать понятные и сопоставимые результаты.

Измерение длины — определение того, сколько единиц длины укладывается в отрезке. Для этого единицу мысленно или реально откладывают вдоль отрезка без промежутков и наложений. Измерение заменяет непосредственное сравнение отрезков подсчётом.

Числовое значение длины — число, показывающее результат измерения с указанной единицей. Например, в записи 8 см число 8 означает количество сантиметров. Без обозначения единицы это число не даёт полного ответа.

Как это устроено

Длину можно сравнивать непосредственно наложением: один конец отрезка совмещают с другим, а затем смотрят на положение вторых концов. Если один конец оказался дальше в том же направлении, этот отрезок длиннее; если концы совпали, длины равны. Такой способ не требует вычислений, но неудобен, когда отрезки находятся далеко друг от друга или имеют разное положение.

Косвенное сравнение выполняют через измерение. Сначала выбирают общий эталон, например сантиметр, и узнают, сколько таких единиц содержится в каждом отрезке. Отрезок с большим числом одинаковых единиц имеет большую длину, потому что его протяжённость больше относительно одного и того же эталона.

Выбор единицы превращает сравнение с эталоном в получение числа. Если сантиметровая единица укладывается в отрезке пять раз, числовое значение длины равно 5, а результат записывают как 5 см. При другой единице число изменится: та же длина будет равна 50 мм, потому что миллиметр в десять раз меньше сантиметра.

Число обязательно записывают вместе с единицей, поскольку сама цифра не определяет размер. Записи 4 см и 4 м содержат одно число, но обозначают разные длины. Поэтому при чтении и вычислениях всегда учитывают обе части записи: числовое значение и выбранную единицу.

Чтобы измерить отрезок линейкой, совместите его начало с нулевой отметкой шкалы, а не просто с краем линейки. Затем найдите отметку, у которой находится второй конец, и прочитайте число с нужной точностью. Если отрезок разбит на части, длина всего отрезка равна сумме длин этих частей, поэтому неизвестную часть можно найти сложением или вычитанием.

Длина отрезка и её измерение

Таблица показывает порядок действий и записи, связанные с длиной. Ею удобно пользоваться как кратким алгоритмом: сначала сравнить или выбрать эталон, затем измерить и при необходимости выполнить вычисления. При переводе единиц нужно опираться на установленные соотношения.

Разбор задач

Сравнение отрезков без линейки

Условие. Нужно сравнить длины двух изображённых отрезков без измерения линейкой и объяснить способ. Числа на рисунке не нужны: важно установить взаимное положение отрезков. Используем непосредственное сравнение.

1. Мысленно или с помощью прозрачного листа перенесём один отрезок к другому.
2. Совместим их концы и направим отрезки вдоль одной линии.
3. Сравним вторые концы: тот, который расположен дальше от общего начала, принадлежит более длинному отрезку; совпадение концов означает равенство.

Ответ. Длины сравнивают наложением или переносом одного отрезка на другой. Такой способ позволяет определить, какой отрезок длиннее, короче или равен ему, не считывая показания линейки.

Измерение линейкой

Условие. Измерить отрезок линейкой и записать длину в сантиметрах и миллиметрах. Пусть после правильного совмещения его конец находится на отметке 6 см 4 мм. Нужно прочитать обе единицы, а не округлять результат до целых сантиметров.

1. Совместим начало отрезка с нулевой отметкой.
2. Смотрим на отметку второго конца: до неё укладываются 6 полных сантиметров и ещё 4 миллиметра.
3. Записываем результат с единицами и при желании проверяем его в миллиметрах: 6 см 4 мм = 64 мм.

Ответ: 6 см 4 мм, или 64 мм.

Сложение частей

Условие. Длина составного отрезка состоит из частей 4 см 6 мм и 2 см 8 мм. Найдём общую длину и выразим её в сантиметрах и миллиметрах. Сначала складываем одноимённые единицы, затем выполняем переход через 10 мм.

1. Складываем миллиметры: 6 мм + 8 мм = 14 мм = 1 см 4 мм.
2. Складываем сантиметры с добавленным сантиметром: 4 см + 2 см + 1 см = 7 см.
3. Получаем общую длину 7 см 4 мм, а в миллиметрах это 74 мм.

Ответ: 7 см 4 мм, или 74 мм.

Типичные ошибки

Отсчёт начинают не от нулевой отметки. Края некоторых линеек не совпадают с нулём, поэтому результат получается завышенным или заниженным. Проверьте себя: начало отрезка должно стоять именно на 0, а не просто у края инструмента.

Записывают только число. Ошибку допускают, когда считают, что цифра сама сообщает размер. Спросите себя, в чём измеряли: запись должна выглядеть, например, как 7 см или 70 мм.

Складывают сантиметры и миллиметры как одинаковые единицы. Так появляется неверная запись вроде 4 см 6 мм + 2 см 8 мм = 6 см 14 мм без дальнейшего перехода. Приведите 10 мм к 1 см и проверьте, что миллиметров после сложения осталось меньше десяти.

Путают длину отрезка с длиной ломаной. Отрезок измеряют между двумя его концами, а длина ломаной равна сумме всех её звеньев; расстояние между отдельными точками может быть только одной частью пути. Проверьте, что именно требуется найти в условии: прямой отрезок, всю ломаную или расстояние между точками.

Связь с другими темами

До изучения длины нужно уметь сравнивать отрезки, пользоваться линейкой и понимать состав числа из единиц разных разрядов. Эти умения помогают правильно читать шкалу и выполнять переходы между сантиметрами и миллиметрами.

Длина нужна при изучении периметра, расстояния, площади, объёма, масштаба и текстовых задач. Например, периметр находят сложением длин сторон, а масштаб связывает длину изображения с настоящим расстоянием.

Единицы длины входят в общую работу с величинами. Умение переводить их позволяет сравнивать результаты, проверять вычисления и выбирать удобную единицу ответа.

Что запомнить

• Длина — это величина, характеризующая протяжённость отрезка.
• Измерить длину — значит узнать, сколько единиц длины укладывается в отрезке.
• Результат измерения записывают числом и единицей длины.
• При измерении линейкой начало отрезка совмещают с нулевой отметкой.
• Длина целого отрезка равна сумме длин его частей.
• При вычислениях все слагаемые должны быть выражены в согласованных единицах.
• Единицы длины можно переводить друг в друга по установленным соотношениям.