Прямые и кривые линии. Точки. Отрезки

Определения и обозначения

Прямая линия — линия, которая не меняет направления. На чертеже её проводят линейкой, а нарисованная от руки линия может слегка изгибаться, даже если мы хотели изобразить прямую. Поэтому при построении прямой используют линейку и мысленно продолжают её за пределы рисунка. Это помогает отличать геометрическую прямую от неровного следа карандаша.

Кривая линия — линия, направление которой меняется. Примеры кривых — дуга, волнистая линия и извилистая дорожка на карте. Кривая может поворачивать плавно или образовывать заметные изгибы. Это понятие помогает описывать линии, которые не идут всё время прямо.

Точка — обозначение точного места на чертеже. Её отмечают условным знаком и называют заглавной латинской буквой: например, A или B. Нарисованный кружок нужен, чтобы точку было видно, а не чтобы показать её размер. Буквенное обозначение позволяет точно указать, о каком месте идёт речь.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка, например A и B у отрезка AB. В отличие от целой прямой, отрезок не продолжается за свои концы. Такое обозначение нужно, чтобы задавать конкретную часть линии и измерять её длину.

Как это устроено

Прямая продолжается в обе стороны, потому что у неё нет начальной и конечной точек. На листе нельзя показать её целиком: рисунок ограничен краями бумаги, поэтому проводят только часть прямой. Отрезок устроен иначе: его границы заданы двумя точками, и за них он не входит. Так можно отличить бесконечно продолжающуюся линию от ограниченной части.

Прямую и кривую различают по направлению линии. Если, двигаясь вдоль неё, не приходится менять направление, перед нами прямая; если линия поворачивает или изгибается — кривая. Например, ровный край линейки можно представить прямой линией, а волну на воде — кривой. Такой способ распознавания подходит и для линий, нарисованных без линейки.

Точками отмечают выбранные места на линии или на чертеже, потому что словесного описания места часто недостаточно. Каждой отмеченной точке дают заглавную латинскую букву, чтобы её можно было назвать и отличить от других. Если на одной линии поставлены A и B, буквы указывают именно на выбранные места. Благодаря этому условию чертёж можно обсуждать без длинных описаний.

Две отмеченные точки на прямой выделяют часть, которая лежит между ними: это и есть отрезок. Точки становятся его границами, поэтому их называют концами. Имя отрезка составляют из букв этих концов, например AB; порядок букв можно поменять, и BA обозначит тот же отрезок. Название по концам помогает понять, какую именно часть чертежа нужно рассматривать.

Длину отрезков можно сравнить непосредственно или измерить. Прикладывая их друг к другу, совмещают один конец первого отрезка с одним концом второго и смотрят, где окажутся другие концы. Для измерения используют линейку: один конец отрезка ставят на нулевую отметку и читают значение у второго конца. Нулевая отметка нужна потому, что край линейки может не совпадать с началом её шкалы.

Сравнение прямой, кривой линии и отрезка

Сначала посмотрите, меняет ли линия направление: так можно отличить кривую от прямой. Затем проверьте, ограничена ли изображённая часть двумя точками. Если границы названы буквами, они помогают обозначить отрезок.

Разбор задач

Определяем вид линии

Условие. На рисунке даны несколько линий. Определите, какие из них прямые, а какие кривые. Сам рисунок может быть выполнен от руки, поэтому оценивайте ход каждой линии, а не качество штриха. Ключевой признак — изменение направления.

1. Проследите каждую линию взглядом от одного края изображения к другому.
2. Если линия всё время сохраняет направление, отнесите её к прямым; если поворачивает или изгибается — к кривым.
3. Проверьте каждый изгиб отдельно: даже небольшой поворот означает, что направление изменилось.

Ответ. Линии без изменения направления — прямые, линии с поворотами и изгибами — кривые. Такой вывод не зависит от того, насколько аккуратно они нарисованы.

Называем отрезок

Условие. Отметьте точки A и B на прямой и назовите отрезок, который они ограничивают. Нужно рассмотреть только часть прямой между этими точками. Остальные части прямой за A и B в этот отрезок не входят.

1. Найдите на прямой отмеченные точки A и B.
2. Выделите участок между ними: точки A и B будут его концами.
3. Назовите выделенный участок по буквам концов — AB; в обратном порядке его также можно назвать BA.

Ответ. Точки A и B ограничивают отрезок AB, или BA. Обе буквы важны: они указывают на концы нужного отрезка.

Сравниваем длины отрезков

Условие. Начертите отрезки AB и CD, сравните их длины и укажите, какой длиннее. Если отрезки начерчены, измерьте их линейкой, не оценивая только на глаз. Так сравнение будет точнее.

1. Поставьте нулевую отметку линейки у точки A и измерьте длину AB до точки B.
2. Повторите измерение для CD, совместив нулевую отметку с точкой C.
3. Сопоставьте полученные числа: большему значению соответствует более длинный отрезок.

Ответ. Длиннее тот отрезок, у которого измеренная длина больше. Если значения равны, отрезки имеют одинаковую длину.

Типичные ошибки

Отрезок иногда называют прямой, потому что оба изображения выглядят ровными. Ошибка возникает, когда не замечают, что прямая продолжается в обе стороны, а отрезок ограничен концами. Проверьте себя: укажите, есть ли у изображённого объекта две граничные точки. Если они заданы, это отрезок, а не целая прямая.

Точку могут принять за маленькую окружность и решить, что у неё есть размер. Так происходит потому, что на бумаге точку приходится изображать заметным условным знаком. Помните: кружок лишь показывает место, а не форму геометрического объекта. Проверьте себя: точку называют буквой, а не измеряют как круг.

Иногда забывают, что концы отрезка — это точки, которые его ограничивают. Тогда путают название линии с обозначениями её границ. Чтобы проверить себя, найдите обе отмеченные точки и назовите их буквами, а затем укажите часть между ними. Например, у AB концами служат A и B.

При измерении начинают отсчёт от края линейки, хотя нулевая отметка может находиться не у самого края. Из-за этого к результату добавляется лишняя длина или часть отрезка не учитывается. Перед измерением совместите один конец отрезка именно с нулём шкалы, а второй — с делением, по которому считываете длину. Повторная проверка покажет, не сдвинулась ли линейка.

Связь с другими темами

Для изучения темы полезно уметь различать линии на рисунках и пользоваться линейкой. Умение видеть изгиб помогает находить кривые, а аккуратное измерение позволяет сравнивать отрезки. Если линейка сдвинулась или измерение начато не от нуля, результат может оказаться неверным. Поэтому полезно проверять положение её шкалы.

Точки и отрезки понадобятся при изучении геометрических фигур, измерении длин и построении чертежей. Фигуры можно задавать точками и соединяющими их отрезками, а длины сторон — измерять. Точные обозначения помогают понимать чертёж и объяснять, какие именно части фигуры рассматриваются. Эти навыки используются и в задачах на построение.

Что запомнить

• Прямая линия продолжается в обе стороны.
• Кривая линия меняет направление.
• Точку обозначают заглавной латинской буквой.
• Отрезок ограничен двумя точками.
• Точки, ограничивающие отрезок, — его концы.
• Отрезок называют по буквам его концов.