"Математика. Наглядная геометрия", Панчищина В.А.
Объём показывает, сколько места занимает тело. Его можно сравнить с объёмом другого тела, а измерить — посчитать, сколько одинаковых кубиков полностью его заполняют. Кубик, выбранный за мерку, называют единичным; результат измерения зависит от его размера. Для записи объёма используют кубические единицы: например, см³ и дм³. Зная, как устроены слои кубиков и как связаны единицы, можно находить объём тел и решать задачи на вместимость.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём тела — величина, показывающая, сколько места занимает тело. Объёмы разных тел можно сравнивать: например, одно тело может занимать больше места, чем другое. Чтобы сравнение было точным, объём измеряют с помощью общей мерки. Это помогает описывать тела и решать задачи, связанные с их размером.
Единичный куб — куб, который выбрали за мерку для измерения объёма. Объём тела выражают числом таких кубов, помещающихся внутри него. Например, если тело полностью заполняют восемь одинаковых кубиков, его объём равен восьми выбранным единицам. Такая мерка позволяет измерять объём, а не просто оценивать его на глаз.
Кубический сантиметр — объём куба, ребро которого равно 1 см. Его обозначают см³ и читают «кубический сантиметр». Эта единица удобна для небольших тел, например коробочки или детали. Обозначение напоминает, что речь идёт о трёх измерениях, а не о длине или площади.
Кубический дециметр — объём куба с ребром 1 дм. Его обозначают дм³ и читают «кубический дециметр». Такая единица подходит для более вместительных тел, чем кубический сантиметр. Если изменить размер куба-мерки, изменится и число мерок, нужных для измерения того же тела.
Чтобы измерить объём, возьми одинаковые кубики и заполняй ими тело. Кубики нужно укладывать плотно, без пустых промежутков и без наложений друг на друга. Если останутся щели, часть места не будет учтена; если кубики наложатся, одно и то же место посчитается несколько раз. Когда всё тело заполнено, подсчитай кубики: их количество и будет результатом измерения в выбранной единице.
Число кубиков зависит от того, какой кубик выбран за мерку. В один и тот же предмет помещается много маленьких кубиков, но меньше крупных, потому что каждый крупный куб занимает больше места. Поэтому числа, полученные при измерении разными мерками, могут отличаться, хотя измеряется одно и то же тело. Чтобы сравнить результаты или выполнить вычисление, нужно знать, какая именно единица использовалась.
Прямоугольное тело удобно представлять как стопку одинаковых слоёв из кубиков. Сначала посчитай кубики в одном слое: если в каждом ряду их 4, а рядов 3, то слой содержит 4 × 3 = 12 кубиков. Затем узнай, сколько таких слоёв составляют всё тело. Если слоёв 5, общее число кубиков равно 12 × 5 = 60, значит, объём составляет 60 единичных кубов.
При переходе между кубическими единицами меняется длина ребра куба сразу по трём направлениям: в длину, ширину и высоту. В одном дециметре 10 сантиметров, поэтому куб с ребром 1 дм можно разделить на 10 × 10 × 10 маленьких кубиков с рёбрами по 1 см. Получается 1000 маленьких кубов, то есть 1 дм³ = 1000 см³, а не 100 см³. Кубический дециметр связан и с вместимостью: 1 дм³ соответствует 1 л.
| Единица объёма | Обозначение | Объём куба с ребром | Соотношение |
|---|---|---|---|
| Кубический сантиметр | см³ | 1 см | 1 см³ |
| Кубический дециметр | дм³ | 1 дм | 1 дм³ = 1000 см³ = 1 л |
| Кубический метр | м³ | 1 м | 1 м³ = 1000 дм³ |
Сначала найди в таблице нужную единицу и посмотри, как обозначается куб с таким ребром. При переводе дм³ в см³ умножай на 1000, а при обратном переводе дели на 1000. Связь 1 дм³ = 1 л позволяет переводить кубические дециметры в литры.
Задача 1. Сколько кубиков объёмом 1 см³ составляют тело, если для его полного заполнения потребовалось 8 таких кубиков? Здесь каждый кубик служит одной и той же меркой. Поэтому объём можно сразу выразить числом использованных кубиков.
Ответ: 8 см³.
Задача 2. Прямоугольный параллелепипед составлен из кубиков объёмом 1 см³: в каждом слое 12 кубиков, а слоёв 3. Найдите его объём. Нужно учесть все слои, а не только кубики на одном уровне. Так как каждый маленький куб имеет объём 1 см³, итоговое число кубиков сразу даст объём в см³.
Ответ: 36 см³.
Задача 3. Выразите 2 дм³ в кубических сантиметрах и литрах. Здесь нужны два перевода: из дм³ в см³ и из дм³ в литры. Для первого используем соотношение кубических единиц, а для второго — связь кубического дециметра с литром. Выполним переводы по отдельности, чтобы не перепутать единицы.
Ответ: 2000 см³ и 2 л.
Ошибка — считать, что 1 дм³ = 100 см³. Такое число появляется, если учесть два направления, как при подсчёте клеток на площади, но объём измеряется в трёх направлениях. Ребро увеличивается в 10 раз по длине, ширине и высоте, поэтому нужно вычислить 10 × 10 × 10 = 1000. Проверь себя: нарисуй мысленно слои — в каждом будет 10 × 10 маленьких кубиков, а слоёв тоже 10.
Ошибка — посчитать кубики только в одном слое и назвать это объёмом всего тела. Так поступают, если забывают, что параллелепипед состоит из нескольких слоёв одинаковой формы. После подсчёта кубиков в слое обязательно умножь результат на число слоёв. Для проверки представь стопку: если слоёв больше одного, общее число кубиков должно быть больше, чем в одном слое.
Ошибка — записывать объём в квадратных единицах, например см². Квадратные единицы используют для площади, потому что у площади два измерения; у объёма их три. Поэтому объём записывают в кубических единицах: см³, дм³ или м³. Проверяй обозначение: цифра 3 в записи напоминает о трёх измерениях.
Ошибка — смешивать дм³ и литры так, будто это одинаковые обозначения для любых кубических мер. Связь 1 дм³ = 1 л относится именно к кубическому дециметру, а не, например, к кубическому метру или сантиметру. Ошибку помогает заметить проверка единицы перед переводом: сначала запиши данную меру, затем используй подходящее равенство. Не заменяй единицы без объяснения связи между ними.
Для работы с объёмом нужно знать единицы длины и уметь переходить между сантиметрами, дециметрами и метрами. Это помогает понять, сколько маленьких кубиков помещается в большом и почему при переводе кубических единиц учитываются три измерения. Также пригодится умение составлять прямоугольные слои из одинаковых кубиков и считать их количество. Позже эти способы помогут находить объём прямоугольного параллелепипеда и решать задачи на вместимость.
Что показывает объём тела?
Объём показывает, сколько места занимает тело. Поэтому с его помощью можно сравнивать, какое из двух тел занимает больше места.
Почему объём измеряют кубическими единицами?
Для измерения объёма тело мысленно заполняют одинаковыми кубами. Поэтому результат выражают в кубических единицах, например в см³ или дм³.
Как измерить объём тела с помощью кубиков?
Выбери кубик-мерку и заполни им тело без промежутков и наложений. Затем посчитай все кубики: их число показывает объём в выбранных единицах.
Почему в 1 дм³ содержится 1000 см³?
В одном дециметре помещаются 10 сантиметров. Значит, в кубе ребро делится на 10 частей по длине, ширине и высоте, а всего получается 10 × 10 × 10 = 1000 кубиков объёмом 1 см³.
Чему равен 1 дм³ в литрах?
1 дм³ равен 1 л. Это соотношение используют, когда переводят объём в литры, например при решении задач о вместимости.
12.1. Измерение объёма
