12.2. Объём и конструкции из кубиков

Определения и обозначения

Объём — величина, которая показывает, сколько места занимает тело. Например, большой ящик занимает больше места, чем маленькая коробка. Для конструкции из одинаковых кубиков объём можно измерить, подсчитав их количество. Такая мерка удобна, потому что каждый кубик занимает одинаковое место.

Единичный куб — куб, объём которого принят за одну единицу. Его используют как мерку: если конструкция состоит из восьми таких кубиков, её объём равен восьми единицам объёма. Размер мерки выбирают заранее, поэтому при подсчёте важно знать, какой куб считают единичным. С ним можно сравнивать объёмы разных тел.

Кубическая единица — единица измерения объёма, равная объёму единичного куба. Если ребро такого куба имеет длину 1 сантиметр, используют кубический сантиметр — см³; если 1 метр — кубический метр, м³. Маленькие предметы удобнее измерять в см³, а большие пространства — в м³. Обозначение напоминает, что речь идёт об объёме куба.

Конструкция из кубиков — тело, составленное из отдельных кубиков. Если кубики одинаковые и между ними нет промежутков, объём конструкции равен числу кубиков, выраженному в выбранных кубических единицах. Каждый кубик вносит в общий объём одну и ту же часть. Поэтому достаточно аккуратно посчитать все кубики, не забывая о закрытых.

Как это устроено

Подсчёт кубиков работает потому, что одинаковые кубики занимают одинаковое место. Если сложить их вплотную, без пустот и наложений, всё пространство конструкции складывается из объёмов отдельных кубиков. Поэтому число кубиков показывает, сколько единичных объёмов в ней содержится. Если кубики разного размера или между ними есть промежутки, простой подсчёт уже не даёт точного объёма.

Чтобы не сбиться, конструкцию удобно мысленно разделить на горизонтальные слои. Сначала считают кубики в нижнем слое, затем в следующем и так далее, после чего складывают результаты. Слои помогают упорядочить подсчёт: каждый кубик относится к одному определённому слою. Такой способ особенно полезен, если часть конструкции закрыта и снаружи видны не все кубики.

Когда в каждом слое одинаковое число кубиков, вместо многократного сложения можно умножить. Например, четыре слоя по шесть кубиков — это 6 + 6 + 6 + 6, то есть 6 × 4. Умножение короче, потому что повторяется одно и то же слагаемое. Перед этим проверь, что слои действительно одинаковые, а не только кажутся похожими с выбранной стороны.

Конструкцию сложной формы можно разделить на простые части, которые легко сосчитать. Найди число кубиков в каждой части и сложи результаты; если части соприкасаются, не считай общий кубик дважды. Другой приём — мысленно дополнить конструкцию до прямоугольного блока, посчитать весь блок и вычесть добавленные кубики. Выбирай способ, при котором проще проследить, что каждый кубик учтён ровно один раз.

При сравнении объёмов нужно пользоваться кубиками одинакового размера: крупный куб занимает больше места, чем маленький. Кроме того, кубики за передним рядом или под верхними кубиками могут быть не видны, но они входят в конструкцию. Поэтому полезно рассматривать её сверху и по слоям, а не только считать то, что видно спереди. Если верхний кубик стоит на нижнем, нижний тоже следует включить в подсчёт.

Способы подсчёта объёма конструкции из кубиков

Сначала определи, как устроена конструкция: состоит ли она из одного слоя, одинаковых слоёв или разных частей. Затем выбери действие из последнего столбца. В конце проверь, что скрытые кубики учтены, а один и тот же кубик не посчитан дважды.

Разбор задач

Задача 1. В одном слое конструкции расположены 7 одинаковых кубиков. Сколько кубиков составляет объём этого слоя? Здесь нужно найти объём только одного слоя, поэтому считать другие слои не требуется. Каждый кубик служит одной и той же меркой.

1. В условии уже указано количество кубиков в слое: 7.
2. Пересчитай кубики по одному, чтобы убедиться, что ни один не пропущен.
3. Запиши это число как объём слоя в единичных кубах.

Ответ: объём слоя равен 7 единичным кубам.

Задача 2. Конструкция состоит из 4 одинаковых слоёв, в каждом по 6 кубиков. Найдите её объём. Слои одинаковы, значит, нет необходимости пересчитывать каждый кубик отдельно. Умножение заменит сложение четырёх равных чисел.

1. Определи, сколько кубиков в одном слое: 6.
2. Узнай, сколько слоёв: 4.
3. Вычисли 6 × 4 = 24 и запиши единицу измерения: единичные кубы.

Ответ: объём конструкции равен 24 единичным кубам. Проверить результат можно сложением: 6 + 6 + 6 + 6 = 24.

Задача 3. Нижний слой конструкции содержит 8 кубиков, а верхний — 5. Найдите объём конструкции и объясните, как проверить, что скрытые кубики учтены. Здесь слои разные, поэтому умножать число кубиков в одном из них на число слоёв нельзя. Нужно учесть оба слоя и затем сложить их количества.

1. Подсчитай кубики нижнего слоя: их 8.
2. Подсчитай кубики верхнего слоя: их 5.
3. Сложи количества: 8 + 5 = 13.
4. Проверь, что под каждым кубиком верхнего слоя есть нужные опорные кубики и они включены в подсчёт нижнего слоя.

Ответ: объём равен 13 единичным кубам. Чтобы проверить скрытые кубики, мысленно отдели слои и пересчитай каждый отдельно, включая закрытые верхними кубиками.

Типичные ошибки

Считать только кубики, видимые спереди, — значит пропустить те, что находятся за ними или под ними. Так происходит, потому что рисунок показывает конструкцию не со всех сторон. Проверь себя, мысленно разложив её на слои и пересчитав каждый слой отдельно. Если верхние кубики на чём-то стоят, посмотри, включены ли эти опоры в подсчёт.

Нельзя умножать число кубиков в одном слое на число слоёв, если слои разные. Такое умножение предполагает, что в каждом слое одно и то же количество кубиков. Ошибку легко не заметить, если считать конструкцию одинаковой на вид. Проверь число кубиков в каждом слое; если оно меняется, сложи результаты подсчёта.

Иногда говорят, что один кубик равен одной единице объёма, не указывая, какой именно кубик выбран за мерку. Но кубики разных размеров занимают разное место, поэтому их нельзя считать одинаковыми единицами. Уточни, что все кубики одинаковые и именно их объём принят за единицу. Для сравнения конструкций используй одну и ту же мерку.

Количество слоёв — это не объём конструкции: в каждом слое может быть несколько кубиков. Ошибка возникает, если посчитать ряды или уровни, но забыть о кубиках внутри них. Проверь, что учтено общее количество кубиков во всех слоях, а не только высота конструкции. Для одинаковых слоёв умножь кубики в одном слое на число слоёв.

Связь с другими темами

Для подсчёта конструкции нужно уметь считать предметы, складывать числа и умножать их. Ещё полезно представлять, как кубики располагаются рядами и слоями, в том числе если некоторые закрыты. Такой навык помогает перейти от отдельных деталей к устройству всего тела. Он пригодится при изучении объёма прямоугольных тел и формул для его вычисления.

Подсчёт кубиков связывает наглядную модель с единицами измерения объёма. Он помогает понять, почему размер мерки влияет на результат и как объёмы составляются из одинаковых частей. Позже эти представления помогут разбираться в формулах объёма и выбирать подходящие единицы. Например, см³ и м³ используют для тел разного размера.

Что запомнить

• Объём показывает, сколько места занимает тело.
• Объём конструкции из одинаковых кубиков равен числу этих кубиков.
• Единичный куб служит меркой объёма.
• Для подсчёта удобно рассматривать конструкцию по слоям.
• Одинаковые слои можно посчитать умножением.
• Если слои различаются, нужно найти число кубиков в каждом и сложить результаты.
• При подсчёте учитывают и невидимые с выбранной стороны кубики.