12.3. Объём прямоугольного параллелепипеда

Определения и обозначения

Прямоугольный параллелепипед — это тело, ограниченное шестью прямоугольниками. Например, такой формой могут обладать коробка, кирпич или аквариум. Его три измерения называют длиной, шириной и высотой. Обычно их обозначают буквами a, b и c, чтобы по ним можно было выполнять вычисления.

Объём прямоугольного параллелепипеда — величина, которая показывает, сколько единичных кубов помещается внутри тела. Кубики должны заполнять всё пространство без промежутков и наложений. Объём нужен, чтобы узнать вместимость коробки, комнаты или другой формы. Чем больше таких кубов помещается, тем больше объём.

Кубический сантиметр, кубический дециметр и кубический метр — единицы объёма. Кубический сантиметр — это куб с ребром 1 см, кубический дециметр — куб с ребром 1 дм, а кубический метр — куб с ребром 1 м. Их обозначают соответственно см³, дм³ и м³. Верхняя цифра 3 показывает, что единица связана с тремя измерениями.

Формула объёма прямоугольного параллелепипеда имеет вид V = a · b · c. Буква V обозначает объём, а a, b и c — длину, ширину и высоту. Формула позволяет найти объём, если известны все три измерения. Перед вычислением их записывают в одинаковых единицах.

Как это устроено

Представим прямоугольный параллелепипед, который нужно заполнить одинаковыми кубиками. Если длина и ширина тела выражены в сантиметрах, вдоль каждой стороны можно поставить столько кубиков, сколько единиц содержит соответствующее измерение. Кубики укладываются ровно, потому что все они имеют одинаковую форму и размер. Поэтому внутри не остаётся незаполненных мест и кубики не накладываются друг на друга.

Сначала рассмотрим один горизонтальный слой кубиков. Вдоль длины помещается a кубиков, а вдоль ширины — b кубиков. Чтобы узнать число кубиков в слое, нужно умножить эти количества: a · b. Это похоже на нахождение площади прямоугольника, потому что один слой имеет форму прямоугольника.

Теперь посчитаем, сколько получится слоёв. По высоте помещается c рядов кубиков, если высота также выражена в выбранных единицах. Каждый слой содержит одинаковое число кубиков — a · b. Поэтому общее число кубиков можно найти умножением a · b на c, то есть получить a · b · c.

Именно поэтому объём находят по формуле V = a · b · c. Нельзя перемножать измерения, записанные в разных единицах: например, сантиметры и дециметры дают несогласованный результат. Сначала все длины переводят в сантиметры, дециметры или метры, а затем выполняют вычисление. Ответ записывают в кубических единицах той системы, которую выбрали.

Единицу объёма выбирают по размерам тела и удобству вычислений. Для небольшой коробки подойдут см³, для аквариума — дм³, для комнаты — м³. При переводе единиц нужно учитывать три измерения, а не одно. Например, 1 дм = 10 см, поэтому 1 дм³ = 10 · 10 · 10 см³ = 1000 см³.

Измерения и объём прямоугольного параллелепипеда

В таблице сначала находят три измерения тела, а затем используют их для вычисления объёма. Следите, чтобы длина, ширина и высота были выражены в одинаковых единицах. Если нужно перевести готовый ответ, учитывайте кубическую, а не линейную связь единиц.

Разбор задач

Задача 1

Коробка имеет длину 5 см, ширину 3 см и высоту 2 см. Все измерения уже выражены в сантиметрах, поэтому менять единицы не нужно. Требуется найти объём коробки в кубических сантиметрах.

1. Запишем формулу: V = a · b · c.
2. Подставим известные значения: V = 5 · 3 · 2.
3. Выполним умножение: 5 · 3 · 2 = 30.

Ответ: объём коробки равен 30 см³. Единица ответа кубическая, потому что мы находили число кубиков с ребром 1 см.

Задача 2

Длина аквариума равна 8 дм, ширина — 4 дм, а объём — 160 дм³. Нужно найти высоту аквариума. Все данные уже имеют согласованные единицы, поэтому можно сразу применять формулу.

1. Запишем формулу: V = a · b · c.
2. Сначала найдём произведение длины и ширины: a · b = 8 · 4 = 32 дм².
3. Выразим высоту: c = V : (a · b) = 160 : 32 = 5 дм.

Ответ: высота аквариума равна 5 дм. Деление использовано потому, что неизвестное измерение является одним из множителей в формуле объёма.

Задача 3

Размеры прямоугольного параллелепипеда равны 20 см, 15 см и 10 см. Объём требуется выразить в кубических дециметрах. Удобнее сначала перевести все измерения в дециметры: 20 см = 2 дм, 15 см = 1,5 дм, 10 см = 1 дм.

1. Подставим измерения в формулу: V = 2 · 1,5 · 1.
2. Найдём объём: V = 3 дм³.
3. Можно проверить другим способом: 20 · 15 · 10 = 3000 см³, а 3000 : 1000 = 3 дм³.

Ответ: объём равен 3 дм³. Оба способа дают одинаковый результат, потому что 1 дм³ содержит 1000 см³.

Типичные ошибки

Первая ошибка — перемножить только два измерения. Так находят площадь основания a · b, а не объём всего тела, потому что высота остаётся неучтённой. Такое случается, когда забывают о третьем измерении. Проверьте себя: в формуле объёма должно быть три множителя.

Вторая ошибка — записать ответ в квадратных единицах, например см². Квадратные единицы относятся к площади, а объём связан с длиной, шириной и высотой. Поэтому для него нужны кубические единицы. Проверьте обозначение после вычисления: должно стоять см³, дм³ или м³.

Третья ошибка — перемножить длину, ширину и высоту, выраженные в разных единицах. Число получится, но его нельзя правильно назвать одной единицей объёма. Ошибку допускают, когда забывают выполнить перевод заранее. Перед подстановкой сравните единицы у всех трёх измерений.

Четвёртая ошибка — перевести кубические единицы так же, как линейные. Например, из см³ в дм³ нельзя делить на 10, ведь изменяются сразу три измерения. Нужно делить на 1000: 1 дм³ = 1000 см³. Для проверки вспомните правило 10 · 10 · 10.

Связь с другими темами

До изучения объёма нужно уметь находить площадь прямоугольника и умножать натуральные числа. Один слой кубиков связан с площадью основания: его число равно произведению длины и ширины. Затем результат умножают на количество слоёв по высоте.

Понятие объёма пригодится при изучении объёмов других тел. Кубические единицы помогают решать практические задачи о вместимости коробок, баков, аквариумов и помещений. Эти знания также позволяют сравнивать размеры предметов и переводить одну единицу объёма в другую.

Что запомнить

• Объём показывает, сколько единичных кубов помещается в теле.
• Объём прямоугольного параллелепипеда находят по формуле V = a · b · c.
• Перед вычислением измерения приводят к одной единице длины.
• Объём записывают в кубических единицах: см³, дм³, м³.
• 1 дм³ = 1000 см³.
• Если объём и два измерения известны, третье находят делением.