12.4. О размерности геометрических фигур

Определения и обозначения

Размерность геометрической фигуры — число независимых направлений, в которых можно перемещаться внутри неё. Независимые направления — это такие направления, которые нельзя заменить движением по другому. Размерность помогает понять устройство фигуры, а не измерить её длину или площадь. Например, большая и маленькая плоские фигуры могут иметь одинаковую размерность.

Точка — фигура нулевой размерности: у неё нет протяжённости ни в одном направлении. Она показывает только точное положение, но внутри неё невозможно пройти какое-либо расстояние. Поэтому точка нужна, чтобы отмечать начало или конец линии, а также положение предмета. Её размерность обозначают числом 0.

Линия — фигура размерности 1: для движения по ней достаточно одного направления. Можно перемещаться вдоль линии вперёд или назад, но нельзя уйти в сторону, оставаясь на ней. Положение на прямой можно указать одним числом, например расстоянием от выбранной точки. К линии относится и отрезок.

Плоская фигура имеет размерность 2, а пространственная фигура — размерность 3. Внутри плоской фигуры перемещаются по двум независимым направлениям, а внутри тела — по трём. Это различие нужно, чтобы понимать, лежит ли фигура на плоскости или занимает пространство. Примеры плоских фигур — круг и квадрат, пространственных — шар и куб.

Как это устроено

Размерность связана не с тем, насколько крупной выглядит фигура, а с возможностями движения внутри неё. Представьте две дороги: одна короткая, другая длинная, но обе идут только вдоль линии. Для движения по каждой достаточно одного направления, поэтому обе одномерны. Если же сравнить маленький и большой квадраты, в обоих можно двигаться в двух независимых направлениях — значит, размерность у них одна и та же, равная 2.

Точку считают нульмерной, потому что она не занимает места и не имеет протяжённости. Можно назвать её положение, но нельзя пройти внутри точки хотя бы один шаг. У точки нет длины, ширины и высоты, поэтому не требуется ни одного направления для перемещения по ней. Это не мешает отмечать точку на прямой: прямая помогает показать её положение, но не добавляет точке протяжённости.

Прямая и отрезок одномерны, потому что движение по ним происходит вдоль линии. Чтобы указать место на прямой, выбирают начало отсчёта и находят одно число — расстояние до нужной точки. То же направление можно считать направленным вперёд или назад, но это не два независимых направления: оба ведут вдоль одной линии. Поэтому отрезок, даже если он нарисован толстым штрихом, остаётся одномерным.

Внутри фигуры на плоскости можно двигаться, например, вправо-влево и вверх-вниз. Эти направления независимы: движение по одному не заменяет движение по другому. Чтобы найти точное положение внутри квадрата или круга, нужно указать два числа — по одному для каждого направления. Поэтому плоским фигурам соответствует размерность 2.

Тело занимает пространство, а значит, его положения нельзя описать только движением по плоскости. К направлениям вправо-влево и вверх-вниз добавляется движение в глубину или из глубины, которое также можно представить как вверх-вниз относительно пола. Чтобы задать положение внутри куба или шара, нужны три независимых направления. Поэтому пространственные фигуры имеют размерность 3.

Размерность геометрических фигур

Чтобы пользоваться таблицей, сначала решите, где расположена фигура: на линии, на плоскости или в пространстве. Затем представьте движение внутри неё и посчитайте независимые направления. Толщину рисунка при этом не учитывайте.

Разбор задач

Задача 1. Определите размерность точки, прямой, квадрата и куба. Сравним фигуры по тому, сколько независимых направлений требуется для движения внутри каждой. Не будем ориентироваться на размер изображения: важны только свойства самой фигуры. Для каждой фигуры назовём число направлений и соответствующую размерность.

1. Точка не имеет протяжённости, поэтому внутри неё нет направлений движения. Её размерность равна 0.
2. По прямой можно двигаться только вдоль неё. Нужен один независимый путь, поэтому размерность прямой равна 1.
3. Внутри квадрата можно двигаться по двум направлениям на плоскости. Размерность квадрата равна 2.
4. Внутри куба можно двигаться по трём независимым направлениям. Размерность куба равна 3.

Ответ: точка — 0, прямая — 1, квадрат — 2, куб — 3.

Задача 2. Распределите отрезок, круг, шар и плоскость по размерности. Сначала отделим линии от фигур на плоскости и тел в пространстве. Затем для каждой определим, сколько направлений нужно, чтобы перемещаться внутри неё. Не путайте круг, который плоский, с шаром, который занимает пространство.

1. По отрезку можно двигаться вдоль одной линии. Значит, отрезок имеет размерность 1.
2. Внутри круга можно двигаться в двух направлениях по плоскости. Размерность круга равна 2.
3. Плоскость также допускает движение по двум независимым направлениям. Её размерность равна 2.
4. Шар занимает пространство, поэтому внутри него нужны три направления. Его размерность равна 3.

Ответ: отрезок — 1, круг — 2, плоскость — 2, шар — 3.

Задача 3. Турист может двигаться по прямой дороге, по поверхности поля или свободно перемещаться в комнате. Укажите размерность каждого множества возможных положений и объясните ответ. Смотрим не на длину дороги или площадь поля, а на то, куда турист может двигаться. В каждом случае считаем независимые направления, доступные для перемещения.

1. По прямой дороге турист движется вдоль одной линии. Множество возможных положений одномерно.
2. По поверхности поля можно идти в двух независимых направлениях, например вправо-влево и вперёд-назад. Это множество положений двумерно.
3. В комнате можно перемещаться по полу и менять высоту, например подниматься или спускаться. Три независимых направления дают размерность 3.

Ответ: прямая дорога — 1, поверхность поля — 2, комната — 3. Размерность определяется доступными направлениями движения, а не величиной объекта.

Типичные ошибки

Ошибка — считать размерность числом измерений, которыми в быту описывают предмет, например длиной и шириной. При этом забывают, что размерность показывает, сколько независимых направлений нужно для положения внутри фигуры. Такая путаница возникает потому, что знакомые слова используются в разных смыслах. Проверьте себя: попробуйте мысленно двигаться внутри фигуры и посчитайте направления.

Иногда отрезок называют двумерным, потому что на рисунке у него есть толщина. Но эту толщину создаёт карандаш или экран, а геометрический отрезок имеет только длину. Ошибку легко допустить, если рассматривать изображение как саму фигуру. Проверка простая: представьте отрезок без толщины — останется только движение вдоль линии.

Круг и шар тоже нередко путают, потому что на плоском рисунке шар может быть показан круглым. Круг лежит на плоскости и имеет размерность 2, а шар занимает пространство и имеет размерность 3. Чтобы проверить себя, спросите, можно ли двигаться внутри фигуры в глубину, а не только по плоскости. Если да, это пространственная фигура.

Точку иногда считают одномерной, ведь её можно отметить на числовой прямой. Однако прямая задаёт способ показать положение точки, а не протяжённость самой точки. Ошибка возникает, когда свойства места, где отмечена точка, приписывают ей самой. Проверьте себя: можно ли двигаться внутри точки вдоль прямой? Нет, значит, её размерность равна 0.

Связь с другими темами

Для этой темы полезно знать, что называют точкой, прямой, отрезком, плоскостью и пространственным телом. Размерность связывает плоские геометрические фигуры с объёмными телами и помогает различать их свойства. Она пригодится при изучении координат: положение на прямой задают одним числом, на плоскости — двумя, а в пространстве — тремя. Так становится понятнее, почему для описания положения в комнате требуется больше данных, чем на листе бумаги.

Что запомнить

• Размерность показывает число независимых направлений внутри фигуры.
• Точка имеет размерность 0.
• Линия и отрезок имеют размерность 1.
• Плоские фигуры имеют размерность 2.
• Пространственные фигуры имеют размерность 3.
• Размерность не зависит от того, насколько велика фигура.