"Математика. Наглядная геометрия", Панчищина В.А.
Орнамент — это узор, в котором фигуры повторяются по определённому правилу, а не собраны случайно. Плоский орнамент можно продолжать на поверхности, не меняя рисунка; сетчатый повторяется сразу в двух направлениях. Его удобно строить по ячейке — небольшому фрагменту с рисунком, который воспроизводят снова и снова. Так можно создавать узоры для плитки, ткани, мозаики и других поверхностей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Орнамент — это узор из фигур, которые повторяются по правилу. В случайном наборе изображения могут быть расположены как угодно, а в орнаменте заметен порядок: элементы повторяются или чередуются. Такое правило помогает понять, как узор будет продолжаться дальше. Поэтому орнамент можно не только рассматривать, но и строить.
Плоский орнамент — узор, расположенный на плоскости и продолжающийся без изменения рисунка. Плоскость можно представить как ровную поверхность листа или пола. Узор не обрывается у одного края: его можно мысленно продолжить в разных направлениях. Это понятие нужно, чтобы отличать такие рисунки от узоров, расположенных, например, на объёмных предметах.
Сетчатый орнамент — плоский орнамент, который строится повторением одинаковых фигур по двум направлениям. Его удобно сравнить с узором на сетке: элементы повторяются и вправо-влево, и вверх-вниз. Если повторение идёт только вдоль одной прямой, этого недостаточно для сетчатого орнамента. Два направления помогают узору покрывать целую плоскость.
Ячейка орнамента — участок, рисунок которого повторяется и из которого можно восстановить весь узор. Представь, что ты переносишь эту часть на соседнее место, а затем повторяешь перенос снова. Так постепенно получается орнамент целиком. Ячейка нужна, чтобы не придумывать каждый фрагмент заново и сохранить один и тот же порядок фигур.
Отдельные фигуры сами по себе ещё не образуют орнамент: нужно, чтобы их расположение подчинялось правилу. Когда одинаковые элементы повторяются или чередуются в установленном порядке, глаз может распознать этот порядок и предсказать продолжение. Именно поэтому одинаковость и закономерность важнее простого количества фигур. Если каждый следующий элемент выбран случайно, узор не получится продолжить тем же способом.
Чтобы получить сетчатый узор, ячейку переносят в двух направлениях. Перенос — это перемещение фигуры или рисунка без поворота и изменения размера; все его части смещаются одинаково. Сначала ячейку можно сдвинуть, например, вправо, а затем повторить её выше или ниже. Так взаимное расположение фигур сохраняется, а узор постепенно заполняет плоскость.
При повторении соседние ячейки должны точно соединяться по краям. Если линия или часть фигуры подходит к краю одной ячейки, в соседней она должна продолжиться в подходящем месте. Иначе появится разрыв, а при наложении фрагментов — лишняя линия или пятно. Поэтому края нужно проверять так же внимательно, как рисунок внутри ячейки.
Одна сетка не задаёт единственный возможный узор, потому что она показывает расположение ячеек, но не определяет их содержимое. Внутри каждой ячейки можно поместить круги, треугольники или другие фигуры, а также выбрать, где именно они будут стоять. Если повторять выбранный рисунок одинаково, получится один орнамент; если изменить его состав или расположение, получится другой. Сетка при этом может остаться прежней.
Сетчатые орнаменты встречаются на плитке, ткани, решётках и мозаиках, потому что повторяющиеся части удобно размещать на большой поверхности. Их можно придумать и самому: выбрать ячейку, нарисовать в ней фигуры и повторить её в стороны. После этого нужно проверить два условия: узор повторяется в двух направлениях, а соседние фрагменты стыкуются. Такая проверка показывает, действительно ли рисунок можно продолжать без изменений.
Таблица показывает, какую роль играет каждый элемент узора и что нужно сделать, чтобы построить продолжение.
| Элемент | Что означает | Как помогает построить узор |
|---|---|---|
| Плоскость | Ровная поверхность, на которой расположен рисунок. | На ней узор можно продолжать в разных направлениях. |
| Сетка | Расположение повторяющихся участков по двум направлениям. | Помогает соблюдать одинаковые шаги между частями узора. |
| Ячейка | Участок с рисунком, который повторяется. | Служит образцом для построения всего орнамента. |
| Повторение в первом направлении | Перенос ячейки, например, вправо или влево. | Продолжает узор вдоль одного направления. |
| Повторение во втором направлении | Перенос ячейки, например, вверх или вниз. | Позволяет заполнить плоскость, а не только одну полосу. |
Читая таблицу, сначала найди ячейку — именно она задаёт повторяющийся рисунок. Затем проверь перенос в первом и втором направлениях. В конце убедись, что соседние ячейки соединяются по краям.
Задача 1. Рисунок повторяется вдоль одной прямой, но не продолжается закономерно во втором направлении. Нужно определить, является ли он сетчатым орнаментом. Сначала проверим, сколько направлений повторения есть у узора, а затем сравним результат с определением.
Ответ: нет, это не сетчатый орнамент; узор повторяется только в одном направлении.
Задача 2. В ячейке нарисована часть фигуры у края. Нужно продолжить рисунок на соседнюю ячейку так, чтобы не было разрывов. Для этого не следует дорисовывать фигуру наугад: нужно понять, какая её часть должна встретиться на соседнем краю. Сохраним при переносе размер, форму и положение рисунка.
Ответ: повторить рисунок в соседней ячейке и совместить его края так, чтобы фигура продолжалась без разрыва.
Задача 3. Дан фрагмент сетчатого орнамента. По нему нужно найти ячейку и продолжить рисунок на несколько ячеек вправо и вверх. Важно не принять большой фрагмент за ячейку, если внутри него рисунок уже повторяется. Найдём наименьшую подходящую часть, переноса которой достаточно для восстановления узора.
Ответ: найти повторяющуюся ячейку, определить два направления переноса и воспроизвести её несколько раз вправо и вверх.
Ошибка: считать любой повторяющийся рисунок сетчатым орнаментом. Так думают, потому что замечают повторение, но не проверяют его направления. Повтор вдоль одной прямой может создать полосовой узор, а не сетчатый. Проверь себя: можешь ли ты продолжить рисунок ещё и в другом направлении?
Ошибка: менять размер или форму фигуры при переносе ячейки. Иногда кажется, что небольшое изменение не повлияет на узор, но после него соседние части уже не будут одинаковыми. При переносе рисунок только перемещают, не растягивая и не сжимая. Проверь себя, наложив перенесённую ячейку на исходную: соответствующие фигуры должны совпасть по форме и размеру.
Ошибка: не проверять стыки соседних ячеек. Можно аккуратно повторить рисунок внутри ячейки, но оставить на границе незамкнутый промежуток или случайное наложение. Это случается, если смотреть только на середину фрагмента. Проведи взглядом вдоль всех общих краёв: линии и части фигур должны продолжаться без скачков.
Ошибка: принимать любой фрагмент за ячейку. Большой участок может выглядеть законченным, но его повторение не всегда воспроизводит весь узор правильно. Ячейка должна содержать рисунок, который при повторении в двух направлениях восстанавливает орнамент. Проверь выбранную часть переносом в обе стороны: если появляются новые элементы, не предусмотренные фрагментом, нужно найти подходящую ячейку.
Для работы с орнаментами пригодится умение распознавать плоские фигуры и видеть их границы. Нужно сравнивать фигуры по форме и размеру, чтобы отличать точное повторение от изменённого изображения. Это помогает правильно выбрать ячейку и замечать, где её рисунок пересекает край.
Перенос ячейки связан с геометрическими преобразованиями: рисунок перемещается, но его форма и размер сохраняются. Умение замечать повторение и расположение фигур также пригодится при изучении симметрии и создании других орнаментов. Понимая правило узора, можно не только продолжить готовый рисунок, но и придумать свой.
Чем сетчатый орнамент отличается от полосового?
Полосовой орнамент повторяется вдоль одного направления, как узор на ленте. Сетчатый продолжается в двух направлениях по плоскости.
Что называют ячейкой орнамента?
Ячейка — это часть узора, повторением которой можно получить весь орнамент. Её рисунок переносят в соседние места, сохраняя форму, размер и расположение фигур.
Обязательно ли ячейки должны быть квадратными?
Нет, ячейки могут иметь разную форму, например быть прямоугольными или ромбическими. Главное, чтобы при повторении их границы согласовывались и узор продолжался без разрывов.
Как проверить, что рисунок можно продолжить в двух направлениях?
Найди повторяющуюся ячейку и попробуй перенести её вправо или влево, а затем вверх или вниз. Если рисунок на границах стыкуется без изменений, его можно продолжать в этих направлениях.
Можно ли построить разные орнаменты на одной и той же сетке?
Да. На одинаковой сетке можно расположить разные фигуры или по-разному составить их внутри ячейки. Поэтому получатся разные узоры, хотя направления и шаг повторения будут одинаковыми.
25.2. Сетчатые (плоские) орнаменты
