25.3. Паркеты

Определения и обозначения

Паркет — покрытие плоскости одинаковыми или разными фигурами без промежутков и наложений. Фигуры, как правило, соприкасаются сторонами, а не просто лежат рядом отдельными кусочками. Это определение помогает проверить, действительно ли узор закрывает всю поверхность.

Плитка — фигура, из которой составляют паркет. В качестве плиток могут выступать многоугольники, например треугольники, квадраты и шестиугольники. Название «плитка» удобно использовать для каждой повторяющейся части покрытия.

Правильный паркет — покрытие плоскости одинаковыми правильными многоугольниками, расположенными одинаково вокруг каждой вершины. Правильный многоугольник имеет равные стороны и равные углы. Это уточнение отличает правильный паркет от любого узора, где могут встречаться фигуры разных форм или размеров.

Угол правильного многоугольника — угол между двумя соседними сторонами. Когда несколько плиток сходятся в одной вершине паркета, их углы располагаются вокруг одной точки. Поэтому величина угла помогает узнать, можно ли заполнить плоскость такими плитками.

Как это устроено

Чтобы получить паркет, плитки повторяют и придвигают друг к другу так, чтобы между ними не оставалось пустых мест. Если края совпадают, соседние фигуры могут заполнить участок плоскости без щелей. Затем узор продолжают в разные стороны, и он покрывает всё пространство. Одного красивого совпадения на небольшом участке недостаточно: нужно, чтобы укладку можно было продолжать повсюду.

Особенно удобно проверять укладку в точке, где сходятся углы нескольких плиток. Полный оборот вокруг точки равен 360°, поэтому сумма углов плиток должна быть ровно 360°. Если сумма меньше, вокруг вершины останется незаполненный сектор, а если больше — плитки должны будут перекрыть друг друга. Это правило позволяет проверить стык, не рисуя весь узор.

У правильного треугольника каждый угол равен 60°. Шесть таких углов дают 6 · 60° = 360°, поэтому вокруг одной вершины укладываются шесть плиток. Их стороны можно совместить, а одинаковое расположение повторять дальше. Так равносторонние треугольники образуют правильный паркет.

У квадрата угол равен 90°, и четыре таких угла составляют 4 · 90° = 360°. Значит, у каждой вершины могут сходиться четыре квадрата. Поскольку стороны квадратов равны и их углы полностью заполняют оборот, укладку можно продолжать без щелей и наложений. Получается обычная сетка из квадратных плиток.

У правильного шестиугольника угол равен 120°. Три таких угла как раз дают 3 · 120° = 360°, поэтому три шестиугольные плитки сходятся у вершины. Их стороны совпадают, и такой узор можно продолжать в стороны. А у правильного пятиугольника угол равен 108°: три угла дают 324°, а четыре — 432°. Между тремя останется щель, а четыре не поместятся, поэтому совпадения сторон недостаточно.

Правильные многоугольники в правильном паркете

Чтобы пользоваться таблицей, найди угол выбранной плитки и раздели 360° на его величину. Целый результат показывает, сколько плиток сходится в вершине; если целого числа нет, правильный паркет из таких плиток не получится. Для пятиугольника видно и другое: три угла меньше полного оборота, а четыре — больше него.

Разбор задач

Задача 1. Можно ли покрыть плоскость квадратами без промежутков и наложений? Сколько квадратов должно сходиться в одной вершине? Нужно проверить, набирается ли полный оборот из углов квадратов, ведь именно в точке их встречи возможны щель или наложение.

1. Угол квадрата равен 90°.
2. Делим полный оборот на этот угол: 360° : 90° = 4.
3. Четыре квадрата дают ровно 360°, значит, их углы заполняют вершину целиком.

Ответ: можно; у каждой вершины сходятся четыре квадрата. Поскольку квадраты одинаковы и их стороны можно совместить, такой узор продолжается без промежутков и наложений.

Задача 2. Угол правильной плитки равен 120°. Можно ли составить из таких плиток правильный паркет? Сначала найдём число плиток вокруг вершины, а затем проверим, целое ли оно: разделим 360° на угол одной плитки.

1. Полный оборот вокруг вершины равен 360°.
2. Вычисляем: 360° : 120° = 3.
3. Получилось целое число, а три угла по 120° дают ровно 360°.

Ответ: да, можно; у каждой вершины сходятся три плитки. Условие по углам выполнено, поэтому правильные шестиугольные плитки могут образовать паркет.

Задача 3. Угол правильной многоугольной плитки равен 108°. Можно ли составить из неё правильный паркет? Проверим, сколько таких углов поместится вокруг одной точки: сумма должна быть ровно 360°, а число плиток не может быть дробным.

1. Три угла дают 3 · 108° = 324°, это меньше 360°.
2. Четыре угла дают 4 · 108° = 432°, это больше 360°.
3. Значит, никакое целое число таких углов не составит полный оборот.

Ответ: нет, правильный паркет из таких плиток не получится. При трёх плитках останется щель, а четыре плитки пересекутся.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что любые фигуры с совпадающими сторонами уже образуют паркет. Так думают, потому что отдельные плитки кажутся плотно подогнанными, но в другом месте могут возникнуть пустоты или наложения. Проверь, закрывает ли узор всю плоскость и можно ли продолжить его во всех направлениях.

Иногда достаточно проверить, что сумма углов меньше или больше 360°, и забывают, что она должна быть именно равна 360°. Меньшая сумма оставляет незаполненное место, а большая означает, что плитки не поместятся вокруг точки. Для самопроверки сложи углы и сравни результат с полным оборотом.

Ещё одна ошибка — получить при делении 360° на угол плитки дробное число и принять его за число фигур у вершины. Но половины плитки у точки быть не может: число сходящихся углов должно быть целым. Проверь результат деления и подставь ближайшие целые числа, чтобы увидеть, получится ли ровно 360°.

Не следует путать правильный паркет с любым паркетом. В обычном покрытии могут быть разные плитки, а в правильном нужны одинаковые правильные многоугольники и одинаковое расположение у каждой вершины. Перед проверкой уточни, о каком виде паркета идёт речь.

Связь с другими темами

Для работы с паркетами нужно различать многоугольники, находить их углы и уметь измерять градусы. Эти знания помогают понять, какой поворот заполняют плитки у точки. Сумма углов вокруг точки становится способом проверить, получится ли узор из правильных многоугольников. В жизни паркеты встречаются в мозаиках, геометрических орнаментах и дизайне покрытий.

Что запомнить

• Паркет покрывает плоскость без промежутков и наложений.
• В правильном паркете все плитки — одинаковые правильные многоугольники.
• Углы плиток вокруг каждой вершины в сумме дают 360°.
• Шесть равносторонних треугольников сходятся в одной вершине.
• Четыре квадрата сходятся в одной вершине.
• Три правильных шестиугольника сходятся в одной вершине.
• Для правильного паркета число плиток у вершины должно быть целым.