20.4. Паркеты

Определения и обозначения

Паркет — это покрытие плоскости одинаковыми многоугольниками без промежутков и наложений. Например, плитки могут соприкасаться сторонами, но между ними не должно оставаться пустого места. Это определение помогает отличить настоящий геометрический паркет от узора, в котором фигуры просто нарисованы рядом.

Правильный паркет — паркет, составленный из равных правильных многоугольников одного вида. Например, он может состоять только из квадратов или только из правильных шестиугольников. Такое название показывает, что все плитки одинаковы и имеют одинаковую форму.

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. К таким фигурам относятся равносторонний треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. Равенство сторон и углов удобно для паркета: плитки легко повторять, а одинаковые углы предсказуемо заполняют пространство.

Полуправильный паркет — паркет из правильных многоугольников разных видов, расположенных вокруг каждой вершины в одном и том же порядке. Например, рядом могут встречаться квадраты и равносторонние треугольники. Это определение нужно, чтобы учитывать не только виды фигур, но и повторяемость узора.

Как это устроено

Плитки паркета должны заполнять плоскость без щелей и перекрытий, потому что иначе покрытие не будет сплошным. Внутри узора несколько плиток встречаются в вершине. Углы этих плиток образуют полный угол, поэтому их сумма должна быть ровно 360°: меньшая сумма оставит щель, а большая приведёт к наложению.

Чтобы проверить одинаковые правильные многоугольники, находят величину их внутреннего угла и делят 360° на этот угол. Получившееся число показывает, сколько фигур должно встретиться в одной вершине. Если результат — целое число, углы могут заполнить полный угол; если получается дробь, одинаковые фигуры так расположить нельзя.

У правильного треугольника каждый угол равен 60°. Число 360° делится на 60°: 360° : 60° = 6. Поэтому в каждой вершине правильного паркета сходятся шесть треугольников, и их углы полностью заполняют пространство вокруг точки.

У квадрата угол равен 90°, а у правильного шестиугольника — 120°. В первом случае получаем 360° : 90° = 4, во втором — 360° : 120° = 3. Значит, вокруг вершины можно расположить соответственно четыре квадрата или три правильных шестиугольника.

Разные правильные многоугольники тоже могут образовать паркет, если сумма их углов вокруг вершины равна 360°. Например, два квадрата и три равносторонних треугольника дают 2 · 90° + 3 · 60° = 360°. Если такой порядок фигур повторяется у всех вершин, получается полуправильный паркет.

Правильные многоугольники и возможность составить паркет

Чтобы пользоваться таблицей, найдите внутренний угол фигуры и посмотрите, делится ли 360° на это число. Целый результат означает, что одинаковые фигуры могут заполнить угол вокруг вершины. Для пятиугольника результат нецелый, поэтому правильный паркет из таких фигур не получится.

Разбор задач

Задача 1. Может ли плоскость быть покрыта одинаковыми правильными пятиугольниками без промежутков и наложений? Нужно проверить, поместится ли целое число углов пятиугольников вокруг одной вершины. Угол правильного пятиугольника равен 108°.

1. Находим число углов, которое потребовалось бы для полного угла: 360° : 108° = 3⅓.
2. Результат не является целым числом, значит, ровно разместить пятиугольники вокруг вершины нельзя.
3. При трёх фигурах останется угол, а при четырёх сумма углов станет больше 360°.

Ответ: нет, одинаковыми правильными пятиугольниками плоскость покрыть нельзя.

Задача 2. Сколько равных правильных треугольников сходится в одной вершине правильного паркета? Сначала определим угол одного треугольника. Затем разделим полный угол на найденную величину.

1. У равностороннего треугольника внутренний угол равен 60°.
2. Вычисляем: 360° : 60° = 6.
3. Проверяем: 6 · 60° = 360°, поэтому углы полностью заполняют пространство вокруг вершины.

Ответ: в одной вершине сходятся шесть равных правильных треугольников.

Задача 3. Вокруг вершины расположены два квадрата и три равносторонних треугольника. Проверим, заполняют ли они полный угол и может ли такой порядок повторяться в полуправильном паркете. Для этого складываем углы всех фигур и учитываем не только их количество, но и порядок.

1. Два квадрата дают 2 · 90° = 180°.
2. Три треугольника дают 3 · 60° = 180°.
3. Общая сумма равна 180° + 180° = 360°, поэтому щели и наложения в вершине не возникают.
4. Если вокруг каждой вершины фигуры идут в том же порядке, такой узор можно повторять по плоскости.

Ответ: фигуры заполняют полный угол; при повторении порядка они образуют полуправильный паркет.

Типичные ошибки

Первая ошибка — выбирать фигуры только по подходящей длине стороны. Равные стороны ещё не гарантируют, что углы заполнят вершину без щелей. Проверьте сумму углов вокруг точки и убедитесь, что она равна 360°.

Вторая ошибка — округлять результат деления 360° на угол до целого числа. Например, 3⅓ нельзя заменить на 3 или 4, потому что после этого сумма углов изменится. Оставляйте точный результат и проверяйте его умножением.

Третья ошибка — путать правильный и полуправильный паркеты. Первый использует один вид правильных многоугольников, а второй — несколько видов. Перед ответом перечислите, какие фигуры входят в узор.

Четвёртая ошибка — проверять только одну вершину и забывать о порядке фигур. Для полуправильного паркета одинаковая комбинация должна повторяться вокруг всех вершин. Сравните соседние вершины и убедитесь, что порядок не меняется.

Связь с другими темами

До изучения паркетов нужно знать, что такое многоугольник, правильный многоугольник и его внутренний угол. Эти понятия помогают описывать форму каждой плитки и вычислять её вклад в общий узор.

При проверке паркета используются сложение и деление углов, а также представление о полном угле 360°. Поэтому задача о плитках одновременно тренирует арифметические вычисления и геометрическое мышление.

Покрытие плоскости связано с геометрическими построениями, симметрией и пространственными узорами. Те же идеи встречаются в орнаментах, мозаиках, оформлении зданий и декоративных рисунках.

Что запомнить

• Плитки паркета покрывают плоскость без промежутков и наложений.
• Углы фигур вокруг каждой вершины паркета в сумме дают 360°.
• В правильном паркете используются равные правильные многоугольники одного вида.
• Правильные треугольники, квадраты и правильные шестиугольники образуют правильные паркеты.
• У правильного пятиугольника угол 108°, поэтому одинаковыми пятиугольниками плоскость не замостить.
• В полуправильном паркете вокруг каждой вершины повторяется один и тот же порядок правильных многоугольников.