"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю.
Поворот — преобразование плоскости, при котором фигура перемещается вокруг неподвижной точки. Для поворота задают центр, величину угла и направление: по часовой стрелке или против неё. Каждая точка фигуры сохраняет расстояние до центра, поэтому не меняются длины, углы, форма и размер. Поворот помогает сопоставлять фигуры, строить их образы и находить случаи, когда фигура совмещается сама с собой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Поворот — преобразование плоскости, при котором каждой точке ставится в соответствие точка на том же расстоянии от центра поворота. Иначе говоря, фигура как будто вращается вокруг одной неподвижной точки. Это преобразование нужно, чтобы перемещать и сравнивать фигуры, не изменяя их форму и размер.
Центр поворота — точка, вокруг которой поворачивают фигуру; при повороте она остаётся на месте. Обычно центр обозначают буквой O. От положения этой точки зависит, по каким окружностям будут двигаться остальные точки фигуры.
Угол поворота — угол, на который поворачивают фигуру; нужно указать его величину и направление. Например, поворот может быть на 90° по часовой стрелке или на 60° против часовой стрелки. Эти данные однозначно задают, куда перейдёт каждая точка.
Образ точки или фигуры — результат поворота исходной точки или фигуры. Образ точки A часто обозначают A′, а образ треугольника ABC — A′B′C′. По образам отдельных точек можно восстановить образ всего отрезка, многоугольника или другой фигуры.
Чтобы построить образ точки A при повороте вокруг O, сначала проводят окружность с центром O и радиусом OA. Точка, находящаяся на этой окружности, удалена от O ровно на столько же, сколько A, поэтому образ обязательно лежит на ней. Затем от луча OA откладывают заданный угол в указанном направлении и получают новый луч; его пересечение с окружностью и есть A′.
Расстояния и углы сохраняются, потому что все точки фигуры поворачиваются на один и тот же угол вокруг общего центра. Отрезок не растягивается и не сжимается, а только меняет направление. Поэтому расстояние между любыми двумя точками остаётся прежним, как и угол между двумя пересекающимися отрезками.
Поворот помогает сопоставить элементы фигур, если выбрать подходящие центр и угол. Например, одна вершина может перейти в другую, а сторона — в сторону такого же направления и длины. Когда соответствующие элементы совпадают, становится проще доказать равенство фигур или найти неизвестный отрезок.
В геометрической задаче можно повернуть не всю фигуру сразу, а только нужную её часть. Для этого строят образ выбранной точки, отрезка или треугольника, а затем используют равенство исходного объекта и его образа. Такой приём превращает сложное расположение элементов в более удобное, где некоторые точки или стороны совпадают.
Построение проверяют по нескольким признакам. Центр O должен остаться неподвижным, а расстояния OA и OA′, OB и OB′ должны быть равны. Кроме того, угол между исходным и новым лучом обязан иметь заданную величину и направление; если хотя бы одно условие нарушено, образ построен неверно.
| Элемент | До поворота | После поворота |
|---|---|---|
| Положение точки | Точка находится в исходном месте | Переходит на окружность с центром поворота |
| Расстояние от центра поворота | Равно расстоянию до исходной точки | Остаётся таким же |
| Длина отрезка | Имеет исходную длину | Не изменяется |
| Величина угла | Имеет исходное значение | Сохраняется |
| Форма и размер фигуры | Заданы исходной фигурой | Остаются прежними |
В таблице полезно сначала найти свойство, о котором спрашивается в задаче, а затем сравнить его до и после поворота. Положение точек меняется, но расстояния, длины, углы, форма и размер сохраняются. Именно эти неизменные свойства позволяют делать выводы о фигурах.
Точка A находится на расстоянии 3 см от центра O. Постройте её образ при повороте на 90° по часовой стрелке. Нужно сохранить расстояние до центра и правильно выбрать сторону поворота.
Ответ: образ A′ находится на расстоянии 3 см от O, а луч OA′ образует с лучом OA прямой угол и расположен по часовой стрелке.
Постройте образ треугольника ABC при повороте вокруг точки O на 60° против часовой стрелки. Все вершины должны повернуться одинаково, иначе получившаяся фигура не будет образом исходного треугольника.
Ответ: треугольник A′B′C′ — образ треугольника ABC. У него сохранены длины сторон и величины углов, но положение изменено.
В равностороннем треугольнике ABC рассмотрите поворот на 120° вокруг его центра. Определите, куда перейдут вершины, и объясните, почему треугольник совместится сам с собой. Центр равностороннего треугольника одинаково удалён от всех его вершин, поэтому поворот равномерно переставляет вершины.
Ответ: A → B, B → C, C → A. После поворота все вершины и стороны занимают места элементов исходного треугольника, поэтому фигура совмещается сама с собой.
Меняют расстояние от точки до центра. Так происходит, если образ строят приблизительно, не используя окружность. Проверьте, что OA = OA′, а для других точек выполнено такое же равенство.
Откладывают угол от неверного луча. Иногда угол начинают измерять от произвольной линии, а не от луча, соединяющего центр с исходной точкой. Начальная сторона угла должна совпадать с OA, OB или другим соответствующим лучом.
Путают направление поворота. Поворот на один и тот же угол по часовой стрелке и против неё приводит к разным образам. Проверьте направление движения от исходного луча к новому.
Поворачивают только одну вершину фигуры. По одной вершине нельзя получить образ всего треугольника или многоугольника. Постройте образы всех вершин и соедините их в исходном порядке.
До изучения поворота нужно уметь измерять и строить углы, откладывать расстояния и пользоваться циркулем. Эти навыки нужны для построения окружностей и новых лучей.
Поворот связан с осевой и центральной симметрией. Некоторые виды симметрии можно понять как поворот на специальный угол, поэтому изучение поворота помогает увидеть общее между разными преобразованиями.
Позже поворот пригодится при изучении движений и равенства фигур, а также при построении симметричных орнаментов. Он позволяет создавать повторяющиеся узоры и проверять совпадение частей фигур.
Какие данные нужны, чтобы задать поворот?
Нужны центр поворота, величина угла и направление поворота. Без указания направления один и тот же угол может дать два разных результата.
Как построить образ точки при повороте?
Сначала измеряют расстояние от центра до точки и проводят окружность с таким радиусом. Затем от луча к исходной точке откладывают заданный угол в нужном направлении; пересечение луча с окружностью будет образом точки.
Почему расстояние от точки до центра не меняется?
Точка при повороте движется по окружности, центр которой совпадает с центром поворота. Радиус этой окружности постоянен, поэтому расстояние до центра сохраняется.
Как повернуть треугольник, а не только одну его вершину?
Нужно построить образы всех трёх вершин, каждый раз используя один и тот же центр, угол и направление. После этого образы вершин соединяют в том же порядке.
Как понять, что поворот совместил фигуру с самой собой?
После поворота каждая точка фигуры должна попасть в точку этой же фигуры. Достаточно проверить соответствие вершин и сторон, а также совпадение формы и положения всей фигуры.
§ 21. Применение поворота
