21.1. Склеивание фигур, связанных поворотом

Определения и обозначения

Поворот — преобразование плоскости вокруг заданной точки на заданный угол; при повороте сохраняются расстояния и форма фигуры. Представь, что фигуру поворачивают, как стрелку часов, не растягивая и не сжимая её. Это понятие помогает понять, как одна фигура оказывается в другом положении.

Центр поворота — неподвижная точка, вокруг которой поворачивают фигуру. Она может находиться как внутри фигуры, так и за её пределами. Если центр определён верно, каждая точка фигуры вращается именно вокруг него, а не перемещается произвольно.

Угол поворота — угол, на который фигуру поворачивают вокруг центра; важно указать направление поворота. Например, четверть полного оборота составляет 90°. Угол и направление позволяют однозначно представить, где окажется фигура, и отличить поворот по часовой стрелке от поворота против неё.

Склеивание фигур — соединение фигур по совпадающим сторонам или частям границы так, чтобы получилась новая фигура. Для соединения выбранные части должны точно совместиться. Это определение нужно, чтобы отличать настоящее склеивание от простого наложения фигур друг на друга.

Как это устроено

Чтобы определить образ фигуры при повороте, сначала находят центр и заданный угол. Каждая точка фигуры движется по дуге окружности с центром в этой точке поворота, поэтому расстояние до центра не меняется. Все точки поворачиваются на один и тот же угол и в одном направлении. Если для точек выбран разный угол или центр, получится уже не поворот всей фигуры как единого целого.

Фигура и её образ равны, потому что поворот не меняет взаимное расположение точек. Расстояния между точками сохраняются, а значит, длины сторон остаются прежними; сохраняются и углы между сторонами. Поэтому каждой стороне и каждому углу исходной фигуры соответствует равная сторона или угол образа. Измениться может только положение фигуры на плоскости.

Чтобы распознать фигуры, связанные поворотом, сопоставь вершины: каждой вершине исходной фигуры найди соответствующую вершину образа. Отрезки от общего центра до этих точек должны быть равны, потому что точки при вращении не приближаются к центру и не удаляются от него. Затем проверь, что все пары точек поворачиваются вокруг одного центра на одинаковый угол. Одного сходства формы для такого вывода недостаточно.

Перед склеиванием определи, какие стороны или участки границы должны стать общими. Совмести их так, чтобы концы одной стороны соответствовали концам другой, а сами фигуры не растягивались. Если равные стороны лишь находятся рядом, но не совпадают, соединение по ним ещё не выполнено. Проверка совмещения помогает избежать щелей и лишнего наложения.

Чтобы описать результат склеивания, сначала отдели общие участки от внешних. Общие участки соединяют фигуры и оказываются внутри новой фигуры, поэтому по ним внешний контур не проходит. Внешнюю границу составляют все оставшиеся видимые стороны и части границ, соединённые по порядку в замкнутую линию. Перечисляя эти участки, можно объяснить форму новой фигуры и затем найти её периметр.

Что проверять при повороте и склеивании фигур

Пользуйся таблицей по порядку: сначала проверь поворот, потом соответствие фигур и только после этого — склеивание. В последней строке проследи внешний контур целиком, чтобы не включить в него внутреннюю линию соединения.

Разбор задач

Треугольник повернули на четверть оборота

Условие: треугольник повернули вокруг заданной точки на четверть оборота. Нужно указать соответствующие стороны и углы. Обозначим вершины исходного треугольника A, B, C, а их образы — A′, B′, C′. Направление поворота определяет, где именно окажется каждая вершина.

1. Проследи, куда при повороте переместилась вершина A, и назови её образ A′. Так же сопоставь вершины B и C с B′ и C′.
2. Соедини соответствующие вершины в том же порядке. Стороне AB соответствует сторона A′B′, стороне BC — B′C′, стороне CA — C′A′.
3. Углам при вершинах A, B и C соответствуют углы при вершинах A′, B′ и C′. Поворот сохраняет длины сторон и величины углов, поэтому соответствующие элементы равны.

Ответ: AB соответствует A′B′, BC — B′C′, CA — C′A′; углам A, B, C соответствуют углы A′, B′, C′. Порядок соответствия важен: стороны сопоставляют по их вершинам, а не только по похожему положению на рисунке. Поскольку поворот сохраняет форму, каждый соответствующий угол и длина стороны совпадают.

Сторона квадрата и её образ

Условие: даны квадрат и его образ при повороте вокруг отмеченной точки. Нужно определить сторону образа, соответствующую выбранной стороне квадрата, и решить, можно ли по ним склеить фигуры. Пусть выбранная сторона — AB, а вершины A и B после поворота оказались в точках A′ и B′. Соответствие вершин подсказывает, какую сторону нужно проверить.

1. Проследи поворот вершин A и B и найди их образы A′ и B′. Тогда образ стороны AB — сторона A′B′.
2. Проверь длины: поскольку квадрат и его образ связаны поворотом, AB и A′B′ равны. Однако этого пока недостаточно для склеивания.
3. Проверь положение сторон: чтобы соединить фигуры по этим сторонам, их нужно совместить так, чтобы совпали оба конца и весь участок границы. Если стороны остаются в разных местах или налегают неверно, склеить фигуры именно по ним нельзя.

Ответ: стороне AB соответствует A′B′; склеивание возможно, если эти стороны можно точно совместить по условию. При равных длинах, но несовпадающем положении сначала требуется правильное перемещение фигур. Так мы проверяем не только размер выбранных сторон, но и то, действительно ли они образуют общий участок.

Внешняя граница после соединения

Условие: две равные фигуры связаны поворотом и соединены по общей стороне. Нужно определить внешнюю границу, вид получившейся фигуры и объяснить, почему линия соединения в контур не входит. Обозначим общую сторону как отрезок AB. После соединения он находится между фигурами, а не снаружи.

1. Найди все стороны обеих фигур и отметь те, которые совпали при склеивании. В условии общей является сторона AB.
2. Исключи AB из внешнего контура: она служит местом соединения, поэтому теперь является внутренним участком. Остальные стороны каждой фигуры остаются внешними, если не совпали с другими сторонами.
3. Обойди оставшиеся стороны по границе получившейся фигуры. По их расположению определи её вид; точное название зависит от формы исходных фигур и того, как они соединены.

Ответ: внешняя граница состоит из всех несоединённых внешних сторон обеих фигур, расположенных по контуру; общая сторона AB в неё не входит. Если фигуры — одинаковые квадраты, соединённые по целой стороне, контур составляют шесть внешних сторон, и получается прямоугольник. Линия AB внутренняя, потому что по обе стороны от неё после склеивания лежит часть полученной фигуры.

Типичные ошибки

Считать поворот отражением — ошибка: при отражении фигура переворачивается относительно линии, а при повороте точки вращаются вокруг центра и сохраняют порядок обхода фигуры. Путают эти движения, потому что в обоих случаях меняется положение фигуры. Проверь, можно ли проследить движение каждой точки вокруг одной неподвижной точки.

Называть центром поворота любую точку фигуры неверно: центр — это точка, относительно которой задано вращение, и она может вообще не принадлежать фигуре. Ошибка возникает, когда центр ищут только среди вершин. Для проверки сравни расстояния от предполагаемого центра до соответствующих точек исходной фигуры и образа.

Угол поворота нельзя путать с углом самой фигуры. Первый показывает, насколько повернули всю фигуру, а второй образован её сторонами и является частью самой фигуры. Их легко смешать, потому что оба называют углами. Уточни, измеряешь ли ты перемещение вокруг центра или угол между сторонами фигуры.

Равенство длин сторон само по себе не означает, что фигуры можно склеить по ним. Стороны должны ещё и совпасть при соединении, иначе между фигурами останется промежуток или появится неверное наложение. Часто проверяют только линейкой, забывая о положении сторон. Совмести концы и весь участок границы, не растягивая фигуры.

Связь с другими темами

Для работы с поворотами нужны умения измерять и сравнивать отрезки и углы, а также распознавать равные фигуры. Представление о движении точки вокруг центра помогает изучать другие преобразования, в том числе симметрии. Анализ склеенных фигур пригодится в задачах на периметр и площадь: сначала важно отличить внешние стороны от внутренних участков соединения. Так геометрические преобразования помогают разбирать составные фигуры.

Что запомнить

• Поворот задаётся центром и углом.
• При повороте расстояния и углы сохраняются.
• Фигура и её образ при повороте равны.
• Соответствующие точки находятся на одинаковом расстоянии от центра поворота.
• При склеивании важно точно совместить предназначенные для соединения части.
• Общая внутренняя часть после склеивания не входит во внешнюю границу.