21.2. Последовательное применение поворота

Определения и обозначения

Поворот — преобразование плоскости, при котором каждая точка поворачивается вокруг заданного центра на один и тот же угол. Представьте стрелку, которая вращается вокруг закреплённой точки. Это определение помогает понять, почему вся фигура движется согласованно.

Центр поворота — точка, остающаяся на месте при повороте. Остальные точки движутся по окружностям с центром в этой точке. Зная центр, можно правильно построить положение фигуры после поворота.

Угол поворота показывает, насколько и в какую сторону повернулась точка или фигура. Направление против часовой стрелки обычно считают положительным, а по часовой стрелке — противоположным. Это нужно, чтобы при нескольких поворотах не перепутать сложение и вычитание углов.

Последовательное применение поворотов — выполнение нескольких поворотов одного за другим. Результат первого поворота становится исходной фигурой для второго. Такое описание позволяет заменить несколько действий одним, если у поворотов общий центр.

Как это устроено

При повороте расстояние от каждой точки до центра сохраняется: точка лишь перемещается по окружности. Расстояния между точками фигуры тоже не изменяются, потому что все точки поворачиваются на один и тот же угол. Поэтому стороны, углы, размеры и форма фигуры остаются прежними, а её образ равен исходной фигуре.

Если два поворота выполняются вокруг одного центра, точка сначала проходит один угловой путь, а затем продолжает движение из нового положения. Оба пути начинаются от одного и того же центра, поэтому их можно рассматривать как части общего вращения. В результате положение точки определяется суммой углов, если направления выбраны одинаково.

Последовательные повороты с одним центром равносильны одному повороту на суммарный угол. Например, поворот на 30°, а затем на 50° против часовой стрелки даёт тот же результат, что и поворот сразу на 80°. Это удобно: вместо построения двух промежуточных фигур можно выполнить одно действие.

Полный оборот составляет 360°, потому что после такого вращения луч возвращается в прежнее положение. Поэтому угол 360° не меняет фигуру, а углы 720° и 1080° означают два и три полных оборота. Любой угол можно уменьшить или увеличить на 360°, не изменив конечного положения.

Порядок поворотов вокруг одного центра не влияет на результат. При перестановке действий складываются те же самые углы, а сложение чисел можно выполнять в любом порядке. Это свойство действует только при общем центре; разные центры могут привести к другому движению.

Результат последовательного применения поворотов с общим центром

Сначала проверьте, что у всех поворотов один центр. Затем выберите положительное направление и запишите углы со знаками.

После сложения сравните ответ с 360°: полный оборот можно убрать, не изменяя положения фигуры.

Разбор задач

Задача 1

Точку повернули вокруг центра O на 40°, а затем вокруг O ещё на 70°. Нужно заменить два поворота одним. Оба действия направлены одинаково, поэтому углы не компенсируют, а дополняют друг друга.

1. Проверяем центр: в обоих случаях это O.
2. Складываем углы: 40° + 70° = 110°.
3. Направление сохраняем: против часовой стрелки.

Ответ: точку можно сразу повернуть вокруг O на 110° против часовой стрелки.

Задача 2

Фигуру повернули вокруг центра O на 120° против часовой стрелки, а затем на 45° по часовой стрелке. Направления противоположны, поэтому часть вращения отменяется. Для вычислений удобно считать поворот против часовой стрелки положительным.

1. Записываем первый угол: +120°.
2. Записываем второй угол: −45°.
3. Находим сумму: +120° − 45° = +75°.

Ответ: два действия равносильны повороту вокруг O на 75° против часовой стрелки.

Задача 3

Фигуру сначала повернули вокруг одного центра на 150°, затем против часовой стрелки на неизвестный угол. После этого фигура вернулась в исходное положение. Значит, суммарный поворот должен составить один полный оборот, то есть 360°.

1. Обозначаем второй угол буквой x.
2. Составляем равенство: 150° + x = 360°.
3. Находим неизвестное: x = 360° − 150° = 210°.

Ответ: наименьший положительный второй угол равен 210° против часовой стрелки.

Типичные ошибки

Складывать углы при разных центрах. Так поступают, потому что видят одинаковые названия преобразований. Проверьте сначала, совпадает ли центр: правило об одном итоговом повороте в таком виде требует общего центра.

Не учитывать направления. Ученик складывает величины 120° и 45°, хотя вращения идут навстречу друг другу. Поставьте знаки: одно направление положительное, другое отрицательное.

Считать, что меняются размеры фигуры. Это происходит из-за представления о движении как о растяжении. Сравните расстояния между любыми двумя точками до и после поворота: они остаются одинаковыми.

Не учитывать полный оборот. Угол 400° иногда принимают за новое положение, отличное от 40°. Вычтите 360° и проверьте, не осталось ли лишнего полного оборота.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь распознавать поворот, находить его центр и определять угол. Также важно различать движение по часовой стрелке и против неё, иначе итоговый угол получится неверным.

Последовательное применение преобразований встречается при изучении симметрий и составных движений фигур. Умение заменять несколько действий одним помогает быстрее строить изображения и проверять результат.

Что запомнить

• При повороте сохраняются расстояния и форма фигуры.
• Центр поворота остаётся неподвижным.
• При общем центре последовательные повороты равносильны одному повороту.
• Угол итогового поворота получают сложением углов с учётом их направлений.
• Полный оборот равен 360°.
• Повороты вокруг одного центра можно выполнять в любом порядке.