"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю.
Правильная пирамида — многогранник с правильным многоугольником в основании и вершиной над его центром. Её боковые грани образуют равные равнобедренные треугольники, а боковые рёбра имеют одинаковую длину. Главные элементы пирамиды — основание, вершина, высота и апофема. Знание их свойств помогает распознавать пирамиды, находить неизвестные отрезки и вычислять площади их поверхностей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пирамида — многогранник, у которого основание является многоугольником, а боковые грани — треугольниками с общей вершиной. Если соединить одну точку вне плоскости многоугольника с каждой его вершиной, получатся боковые рёбра и треугольные грани. Это определение помогает отличить пирамиду от других многогранников.
Правильная пирамида — пирамида, основание которой является правильным многоугольником, а высота проходит через центр основания. Правильный многоугольник имеет равные стороны и равные углы. Такое условие делает расположение вершины симметричным и позволяет использовать общие свойства для всех боковых граней.
Апофема правильной пирамиды — высота её боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к стороне основания. В боковом треугольнике апофема является перпендикуляром к стороне основания. Она нужна для нахождения высоты боковой грани и площадей боковых поверхностей.
Высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Его нижний конец называют основанием высоты. В правильной пирамиде он попадает в центр правильного многоугольника, поэтому обозначается обычно буквой h.
Сначала выбирают многоугольник, который будет основанием пирамиды. Затем берут точку вне плоскости этого многоугольника — вершину пирамиды — и соединяют её отрезками со всеми вершинами основания. Каждый такой отрезок является боковым ребром, а каждая сторона основания вместе с двумя соседними боковыми рёбрами образует боковую грань. Поэтому число боковых граней равно числу сторон основания.
В правильной пирамиде вершина расположена так, чтобы её проекция на основание совпадала с центром правильного многоугольника. Причина в симметрии: центр одинаково удалён от всех вершин основания, поэтому наклонные отрезки от вершины пирамиды к вершинам основания имеют одинаковую длину. Так возникают равные боковые рёбра, а сама пирамида сохраняет одинаковый вид при поворотах вокруг высоты.
Каждая сторона правильного основания имеет одинаковую длину, и вершина пирамиды находится на одинаковом расстоянии от всех вершин основания. Значит, у всех боковых треугольников две стороны, являющиеся боковыми рёбрами, равны. Кроме того, основания этих треугольников равны как стороны правильного многоугольника, поэтому все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, одновременно является медианой и биссектрисой. Поэтому в каждой боковой грани правильной пирамиды от вершины к стороне основания можно провести перпендикуляр, который делит эту сторону пополам. Этот перпендикуляр и называется апофемой, а его длина является высотой боковой грани.
Рассмотрим сечение через вершину пирамиды, центр основания и середину одной из его сторон. Высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания, а отрезок от центра до середины стороны лежит в основании, поэтому они перпендикулярны. Апофема лежит в боковой грани и соединяет вершину с серединой стороны основания. В результате получается прямоугольный треугольник, где катеты — высота пирамиды h и расстояние r от центра до стороны, а гипотенуза — апофема l: l² = h² + r².
| Элемент или свойство | Что это означает |
|---|---|
| Основание: правильный многоугольник | Нижняя грань пирамиды имеет равные стороны и равные углы. |
| Вершина: общая вершина боковых граней | Все треугольные боковые грани сходятся в одной точке. |
| Высота: перпендикуляр от вершины к плоскости основания | Высота образует прямой угол с любой прямой основания, проходящей через её основание. |
| Боковые грани: равные равнобедренные треугольники | У них равны соответствующие стороны и углы. |
| Боковые рёбра: равны | Расстояния от вершины пирамиды до всех вершин основания одинаковы. |
| Апофема: высота боковой грани | Это перпендикуляр от вершины боковой грани к стороне основания. |
Таблица помогает быстро проверить, правильно ли названы элементы пирамиды. При решении задачи сначала определите, какой отрезок или грань описаны в условии, а затем применяйте соответствующее свойство. Особенно важно не смешивать высоту пирамиды и апофему.
У правильной четырёхугольной пирамиды нужно назвать основание, вершину, боковые грани и боковые рёбра. Четырёхугольное основание имеет четыре стороны и четыре вершины. Обозначим его ABCD, а вершину пирамиды — S.
Ответ: основание ABCD, вершина S, боковые грани SAB, SBC, SCD, SDA; боковые рёбра SA, SB, SC, SD.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, апофема — 5 см. Требуется найти высоту боковой грани и периметр основания. Апофема по определению является высотой боковой грани, поэтому одно значение уже дано.
Ответ: высота боковой грани — 5 см, периметр основания — 18 см.
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 8 см, высота пирамиды — 3 см. Нужно найти апофему. Основание — квадрат, поэтому расстояние от его центра до стороны равно половине стороны: 8 : 2 = 4 см.
Ответ: апофема равна 5 см.
Считать правильной любую пирамиду с правильным основанием. Одного правильного основания недостаточно: высота должна проходить через его центр. Проверьте, совпадает ли проекция вершины с центром многоугольника.
Путать высоту пирамиды с боковым ребром. Боковое ребро соединяет вершину пирамиды с вершиной основания и обычно наклонено к основанию. Высота образует прямой угол с плоскостью основания, поэтому ищите именно перпендикуляр.
Называть апофемой боковое ребро. Такое смешение возникает потому, что оба отрезка начинаются в вершине пирамиды. Проверьте второй конец: апофема приходит в сторону основания и перпендикулярна ей, а ребро — в вершину основания.
Брать расстояние от центра до вершины многоугольника вместо расстояния до стороны. В прямоугольном треугольнике для нахождения апофемы нужен отрезок до середины стороны основания. Если вы взяли радиус описанной окружности, замените его на апофему правильного многоугольника, то есть расстояние от центра до стороны.
До изучения пирамид нужно знать элементы многоугольника: стороны, вершины, центр и перпендикуляр. Свойства правильных многоугольников помогают понять, почему все стороны основания равны. Понятие перпендикуляра нужно для определения высоты и апофемы.
При решении задач используются свойства равнобедренного треугольника. Теорема Пифагора позволяет связать высоту пирамиды, расстояние от центра основания до стороны и апофему. Эти отрезки образуют прямоугольный треугольник.
Пирамиды относятся к многогранникам. Их свойства пригодятся при изучении развёрток, площадей боковой поверхности и полной поверхности геометрических тел.
Чем правильная пирамида отличается от любой другой пирамиды?
У любой пирамиды основание является многоугольником, а боковые грани сходятся в общей вершине. У правильной пирамиды основание — правильный многоугольник, и высота проходит через его центр.
Обязательно ли у правильной пирамиды все боковые грани равны?
Да, у правильной пирамиды боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Это связано с равенством сторон основания и боковых рёбер.
Чем апофема отличается от высоты пирамиды?
Высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания и соединяет вершину с центром основания. Апофема лежит в боковой грани и перпендикулярна стороне основания.
Куда опускается высота правильной пирамиды?
Высота правильной пирамиды опускается в центр правильного многоугольника, который служит основанием. Поэтому её основание находится внутри многоугольника.
Как найти апофему, если известны высота пирамиды и основание?
Нужно найти расстояние от центра основания до его стороны. Затем апофема вычисляется по теореме Пифагора: l² = h² + r², где h — высота пирамиды, r — это расстояние от центра до стороны.
21.3. Правильные пирамиды
