21.4. Правильные призмы

Определения и обозначения

Призма — многогранник с двумя равными многоугольниками в параллельных плоскостях. Эти многоугольники называют основаниями, а соединяющие их грани — боковыми. Стороны многоугольников и границ граней являются рёбрами, а точки их соединения — вершинами; эти названия помогают описывать устройство призмы.

Боковое ребро призмы — отрезок, который соединяет вершины разных оснований. Все боковые рёбра одной призмы равны, потому что они соединяют соответствующие точки двух равных оснований. По боковым рёбрам можно определить, прямая призма или наклонная, а у прямой призмы по ним также находят высоту.

Прямая призма — призма, боковые рёбра которой перпендикулярны плоскостям оснований. Перпендикулярность означает, что ребро образует с плоскостью прямой угол. Поэтому боковые грани прямой призмы имеют форму прямоугольников, что удобно при вычислении их площадей.

Правильная призма — прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник, то есть многоугольник с равными сторонами и равными углами. Её боковые грани — равные прямоугольники: у них одинаковая высота, а ширины равны сторонам основания. Это определение помогает отличить правильную призму от просто прямой.

Как это устроено

Представим два равных многоугольника, расположенных в параллельных плоскостях. Соединим каждую вершину одного многоугольника с соответствующей вершиной другого отрезком и соединим соответствующие стороны. Получится замкнутое тело: многоугольники станут основаниями, а соединяющие их четырёхугольники — боковыми гранями. Равенство оснований нужно, чтобы их стороны и вершины совпадали по форме и числу.

В прямой призме боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований по определению. Каждая боковая грань опирается на сторону основания, а её боковые стороны идут вдоль перпендикулярных рёбер. Поэтому у этой грани соседние стороны образуют прямой угол, и она является прямоугольником. Если рёбра наклонены к основаниям, боковые грани уже не обязаны быть прямоугольными.

Для правильной призмы нужно выполнить два условия: призма должна быть прямой, а её основание — правильным многоугольником. Стороны правильного основания равны, поэтому у всех боковых прямоугольников одинаковая ширина. Их высота тоже одна и та же, поскольку боковые рёбра призмы равны. Значит, все боковые прямоугольники равны, хотя квадратами они становятся только при совпадении ширины и высоты.

Число боковых граней связано с числом сторон основания. Каждая сторона нижнего основания вместе с соответствующей стороной верхнего образует одну боковую грань, поэтому у основания из n сторон будет n таких граней. К ним добавляются два основания, всего получается n + 2 грани. У каждого из двух оснований по n вершин, а рёбра состоят из 2n рёбер оснований и n боковых, всего 3n.

Высота призмы — кратчайшее расстояние между плоскостями оснований, то есть длина перпендикуляра между ними. В прямой призме боковое ребро уже перпендикулярно основаниям, поэтому его длина равна высоте. В наклонной призме боковое ребро идёт под углом, и его длина не равна перпендикулярному расстоянию. Это различие важно при вычислениях: в формуле площади используют именно высоту.

Элементы и свойства призмы

В таблице n обозначает число сторон основания. Сначала определи тип призмы и число сторон её основания, а затем подставь n в нужную формулу. У наклонной призмы высоту нельзя автоматически принимать равной боковому ребру.

Разбор задач

Задача 1. Основания призмы — равные правильные пятиугольники, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Определите, является ли призма правильной. Чтобы ответить, проверим оба признака из определения, а не будем делать вывод только по форме основания.

1. Основания — правильные пятиугольники, значит, условие о правильном многоугольнике выполнено.
2. Боковые рёбра перпендикулярны основаниям, значит, призма прямая.
3. Оба необходимых условия выполнены одновременно, поэтому призма правильная.

Ответ: да, призма правильная. Этот способ проверки подходит для любого основания: нужно отдельно проверить прямоту призмы и правильность многоугольника в основании.

Задача 2. У правильной призмы основание — шестиугольник. Сколько у неё боковых граней, всех граней, вершин и рёбер? Здесь n = 6, поэтому используем правила подсчёта элементов призмы. Сначала считаем грани, а затем подставляем число сторон в формулы для вершин и рёбер.

1. Боковых граней столько, сколько сторон у основания: 6.
2. Всех граней на две больше, потому что к боковым добавляются два основания: 6 + 2 = 8.
3. Вершин два набора по шесть: 2 · 6 = 12.
4. Рёбер три набора по шесть: 3 · 6 = 18.

Ответ: 6 боковых граней, 8 граней всего, 12 вершин и 18 рёбер. Можно проверить число рёбер отдельно: у двух оснований вместе 12 рёбер, ещё 6 — боковые, всего 18.

Задача 3. Основание правильной призмы — квадрат со стороной 3 см, высота равна 8 см. Найдите сумму площадей её боковых граней. Каждая боковая грань — прямоугольник с одной стороной 3 см и другой 8 см, а таких граней у квадратного основания четыре. Поэтому можно найти площадь одного прямоугольника и умножить её на четыре.

1. Площадь одной боковой грани: 3 · 8 = 24 см².
2. У квадрата четыре стороны, значит, боковых граней тоже четыре.
3. Сумма площадей: 24 · 4 = 96 см².

Ответ: 96 см². Тем же результатом можно воспользоваться формулой Sбок = Pосн · h: периметр квадрата равен 4 · 3 = 12 см, поэтому 12 · 8 = 96 см².

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать правильной любую призму с правильным многоугольником в основании. Так думают, потому что обращают внимание только на форму основания и забывают, что призма должна быть ещё и прямой. Проверь оба условия: основание правильное, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Если второе условие не выполнено, призма не правильная.

Вторая ошибка — называть все боковые грани правильной призмы квадратами. Их форма — прямоугольники, потому что их высота перпендикулярна стороне основания, но ширина и высота могут быть разными. Квадрат получится только тогда, когда они равны. Для проверки сравни длину бокового ребра со стороной основания.

Третья ошибка — принимать длину бокового ребра наклонной призмы за её высоту. Ребро наклонено, а высота измеряет перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований. Проверь, образует ли отрезок прямой угол с основаниями: только в случае прямой призмы боковое ребро равно высоте. При вычислениях используй перпендикулярную высоту, а не наклонный отрезок.

Четвёртая ошибка — путать число боковых граней с числом всех граней. Боковые грани не включают основания, поэтому к их числу нужно прибавить два. Например, если основание — пятиугольник, боковых граней пять, а всех граней семь. Самопроверка проста: назови отдельно два основания и посчитай боковые грани.

Связь с другими темами

Чтобы распознавать призмы, нужно знать многоугольники и понимать, какие из них правильные. Также пригодятся понятия параллельности и перпендикулярности: они помогают отличить прямую призму от наклонной. Знание прямоугольника объясняет форму боковых граней прямой призмы.

Периметр основания и площадь прямоугольника нужны, чтобы находить площадь боковой поверхности. Для правильной призмы её можно вычислить как произведение периметра основания на высоту: Sбок = Pосн · h. Умение разбирать призму на грани также пригодится при изучении развёрток, других многогранников и их объёмов.

Что запомнить

• У призмы два равных параллельных основания.
• Боковые грани призмы соединяют соответствующие стороны оснований.
• У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основаниям.
• В прямой призме боковые грани — прямоугольники.
• Правильная призма — прямая призма с правильным многоугольником в основании.
• У призмы с n-угольным основанием n боковых граней.
• Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.