"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю.
Симметрия помогает понять, как части фигуры или предмета расположены друг относительно друга. При осевой симметрии фигуру отражают относительно прямой, а при центральной — поворачивают на 180° вокруг точки. Эти преобразования используют, чтобы находить соответствующие точки, строить новые фигуры и проверять, совпадёт ли фигура сама с собой. Главное — различать ось и центр и правильно располагать точки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Осевая симметрия — преобразование, при котором каждой точке соответствует точка по другую сторону от прямой на таком же расстоянии. Эту прямую называют осью симметрии. Представь отражение в зеркале: ось играет роль поверхности зеркала, а соответствующие точки оказываются на равном расстоянии от неё. Это определение нужно, чтобы точно строить отражённые фигуры.
Ось симметрии фигуры — прямая, относительно которой отражение переводит фигуру в себя. Иными словами, после отражения все части фигуры должны занять прежние места. Такая прямая помогает описать устройство фигуры и проверить, можно ли разделить её на совпадающие части. Одного прохождения через середину недостаточно: важно совпадение при отражении.
Центральная симметрия — преобразование относительно точки, при котором каждой точке соответствует точка по другую сторону от центра на таком же расстоянии. Центр задаёт, где именно выполняется это преобразование. Его можно представить как середину поворота: фигура поворачивается вокруг точки на 180°. Определение используют, чтобы построить соответствующие точки и проверить фигуру.
Центр симметрии фигуры — точка, относительно которой центральная симметрия переводит фигуру в себя. Значит, после преобразования вся фигура совпадает с исходной. Такая точка должна быть серединой отрезка между любой точкой фигуры и соответствующей ей точкой. Это помогает находить пары точек и отличать центр симметрии от просто выбранной точки внутри фигуры.
Проверяя осевую симметрию, сначала выбирают прямую, которая может быть осью. Затем мысленно отражают фигуру: каждая её часть должна оказаться на месте такой же части, а контур — полностью совпасть. Это похоже на складывание по прямой: если обе половины не совпадают, прямая не является осью. Поэтому проверяют всю фигуру, а не только её отдельные участки.
У точек, симметричных относительно оси, есть два связанных свойства: они лежат на одном перпендикуляре к оси и находятся от неё на одинаковом расстоянии. Перпендикуляр нужен потому, что именно кратчайшее расстояние от точки до прямой измеряется под прямым углом. Если отложить равные расстояния вдоль наклонной линии, точки могут оказаться не отражёнными друг от друга. Это правило позволяет выполнить построение линейкой и угольником.
Чтобы проверить центральную симметрию, мысленно поворачивают фигуру на 180° вокруг предполагаемой точки. Такой поворот меняет направление каждой части на противоположное, но не растягивает и не сдвигает её произвольно. Если после поворота контур и все части совпадают с исходной фигурой, точка является её центром симметрии. Если хотя бы часть фигуры оказалась в другом месте, проверка не пройдена.
При центральной симметрии центр находится ровно посередине между каждой точкой и её парой. Поэтому соответствующие точки лежат на одной прямой с центром, но по разные стороны от него. Чтобы найти пару, соединяют известную точку с центром и продолжают прямую дальше. Равные отрезки по обе стороны центра дают нужное положение второй точки.
Симметрия помогает замечать порядок в предметах, орнаментах и узорах: можно определить, повторяются ли их части при отражении или повороте. В геометрических задачах она показывает, какие точки соответствуют друг другу, и помогает строить фигуры без измерения каждого элемента отдельно. Причина в том, что преобразование сохраняет форму и размеры фигуры. Но для применения симметрии сначала нужно точно установить её ось или центр.
| Признак | Осевая симметрия | Центральная симметрия |
|---|---|---|
| Что задаёт преобразование | Прямая — ось | Точка — центр |
| Как расположены исходная и соответствующая точки | По разные стороны оси, на равном расстоянии; отрезок между ними перпендикулярен оси | По разные стороны центра на одной прямой; центр — середина отрезка |
| Как проверить симметричность фигуры | Отразить относительно прямой и проверить совпадение | Повернуть на 180° вокруг точки и проверить совпадение |
| Пример применения в узоре или окружающих предметах | Проверить, совпадут ли части узора при отражении в прямой | Проверить, совпадёт ли узор после поворота вокруг точки |
Сначала смотри на то, чем задано преобразование: прямой или точкой. Затем сравни положение пары точек и способ проверки фигуры. Так проще выбрать нужное правило для построения и не спутать два вида симметрии.
Задача 1. Начертите треугольник и прямую вне него. Постройте точки, симметричные вершинам треугольника относительно этой прямой, и соедините их. Каждую вершину нужно отразить отдельно, иначе можно потерять точность. Обозначим вершины A, B, C, а их образы — A′, B′, C′.
Проверка: отрезки AA′, BB′ и CC′ должны быть перпендикулярны оси, а ось — делить каждый из них пополам. Ответ: треугольник A′B′C′ — фигура, симметричная исходному треугольнику относительно данной прямой.
Задача 2. Дан четырёхугольник и точка O. Постройте фигуру, симметричную четырёхугольнику относительно O. Удобнее построить образы вершин, потому что прямые стороны между ними после преобразования тоже образуют стороны фигуры. Обозначим вершины A, B, C, D, а соответствующие точки — A′, B′, C′, D′.
Проверьте, что O находится посередине каждого отрезка между вершиной и её образом. Ответ: четырёхугольник A′B′C′D′ симметричен данному относительно точки O.
Задача 3. Определите, имеет ли изображённая фигура ось симметрии или центр симметрии, и укажите их, если они есть. Одного впечатления, что фигура «похожа на симметричную», недостаточно: каждое преобразование проверяется отдельно. Сначала проверяют возможные оси, затем возможный центр.
Ответ зависит от конкретной фигуры: укажите только те оси и центр, которые прошли проверку. Ось и центр нельзя считать одним и тем же, поскольку первая задаёт отражение, а второй — поворот на 180°. Если полного совпадения нет, соответствующий вид симметрии отсутствует.
Ошибка: считать любую прямую, проходящую через середину фигуры, осью симметрии. Так думают, потому что прямая может делить фигуру на две части, но эти части не обязательно совпадают. Проверь себя отражением: каждая точка и её образ должны занять соответствующие места. Если контуры или части не совпали, оси нет.
Ошибка: откладывать расстояние до оси по наклонной линии. Так можно ошибиться, потому что расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру, а не по произвольному отрезку. Проверь построение угольником: отрезок между исходной и симметричной точками должен пересекать ось под прямым углом. Ось при этом делит этот отрезок пополам.
Ошибка: считать центральную симметрию отражением относительно прямой. Вероятно, путают слово «симметрия» с зеркальным отражением, но здесь преобразование задаётся точкой. Проверь пару точек: они должны лежать на одной прямой с центром, а центр должен быть серединой соединяющего их отрезка. Если выполнено правило для оси, это ещё не доказывает центральную симметрию.
Ошибка: проверять совпадение только отдельных частей фигуры. Это приводит к неверному ответу, потому что преобразование должно переводить в себя фигуру целиком. Проверь все вершины, стороны и остальные части после отражения или поворота. Если хоть одна часть не совпадает, фигура не обладает проверяемой симметрией.
Для построений симметричных точек пригодятся умения измерять отрезки и проводить перпендикуляр. В осевой симметрии перпендикуляр помогает правильно отложить расстояние до оси. Для центральной симметрии нужно уметь находить середину отрезка: именно там должен находиться центр. Без этих навыков трудно точно выполнить чертёж и проверить его.
Симметрия помогает изучать геометрические фигуры и их свойства: по расположению частей можно находить соответствующие точки и сравнивать элементы. Она применяется и при построении орнаментов и чертежей, когда нужно повторять части узора или предмета. Умение различать отражение и поворот помогает выбирать подходящий способ построения. Поэтому симметрия связывает геометрические правила с окружающими нас изображениями.
Как найти ось симметрии фигуры?
Представь, что фигуру отражают относительно предполагаемой прямой. Если отражённая фигура полностью совпадает с исходной, эта прямая — ось симметрии. У фигуры может быть несколько таких прямых или ни одной.
Как построить точку, симметричную данной относительно прямой?
Проведи через данную точку перпендикуляр к прямой. На другой стороне прямой отложи по этому перпендикуляру такое же расстояние. Полученная точка будет симметричной исходной.
Как построить точку, симметричную данной относительно центра?
Соедини данную точку с центром симметрии и продолжи отрезок за центр. Отложи от центра расстояние, равное расстоянию до исходной точки. Центр должен оказаться серединой отрезка между двумя точками.
Чем осевая симметрия отличается от центральной?
Осевая симметрия задаётся прямой: точки располагаются по разные стороны от неё на одинаковом расстоянии. Центральная симметрия задаётся точкой, которая является серединой отрезка между соответствующими точками. При проверке центральной симметрии фигуру мысленно поворачивают на 180°.
Может ли фигура иметь несколько осей симметрии?
Да, например, у квадрата несколько осей симметрии. Каждую прямую нужно проверять отдельно: отражение относительно неё должно переводить всю фигуру в себя. Иногда у фигуры нет ни одной оси.
§ 22. Применение симметрии
