§ 23. Использование разных видов движений для получения новой фигуры

Определения и обозначения

Движение плоскости — преобразование, при котором расстояния между любыми двумя точками сохраняются. Поэтому фигура после движения не растягивается, не сжимается и не меняет форму или размер. Это определение нужно, чтобы отличать обычное перемещение фигуры от изменения её вида.

Образ фигуры — фигура, полученная из исходной после движения. Каждой точке исходной фигуры соответствует точка её образа, построенная по одному и тому же правилу. Понятие образа помогает точно описывать, куда перешла вся фигура.

Композиция движений — последовательное выполнение двух или нескольких движений. Сначала получают образ после первого преобразования, затем применяют следующее к уже полученному образу. Это нужно для построения сложных перемещений и проверки роли порядка действий.

Равные фигуры — фигуры, которые можно совместить движением. Поскольку движение сохраняет расстояния, у равных фигур совпадают соответствующие длины сторон и углы. Значит, образ фигуры при движении всегда равен исходной фигуре.

Как это устроено

Осевая симметрия отражает фигуру относительно прямой, которую называют осью симметрии. Для каждой точки проводят перпендикуляр к оси и откладывают за осью такое же расстояние, как от исходной точки до оси. Центральная симметрия задаётся точкой: она становится серединой отрезка между точкой фигуры и её образом. Поворот перемещает каждую точку вокруг центра на один и тот же угол, а параллельный перенос сдвигает все точки на одинаковое расстояние в одном направлении.

Все эти преобразования сохраняют расстояния, потому что построение выполняется одинаковым правилом для всех точек. При отражении равные перпендикулярные отрезки дают одинаковые расстояния до оси, при повороте сохраняются радиусы и углы между ними, а при переносе каждая точка сдвигается на один и тот же вектор. Если расстояния между вершинами не изменились, не изменились и стороны многоугольника. Углы также остаются прежними, поэтому образ имеет ту же форму.

Чтобы выполнить два движения, сначала строят образ каждой вершины после первого преобразования. Полученную фигуру принимают за новую исходную и снова преобразуют её точки по правилу второго движения. Нельзя перескакивать сразу к исходной фигуре: иначе второе преобразование будет выполнено не над тем объектом. Так последовательность действий превращается в композицию движений.

Разные последовательности могут давать разные положения фигуры, хотя каждое отдельное движение сохраняет расстояния. Например, при повороте вокруг точки, а затем переносе сначала меняется направление относительно центра, а потом добавляется сдвиг. Если сделать перенос первым, центр поворота будет действовать уже на перемещённую фигуру. Для построения многоугольника достаточно преобразовать его вершины и соединить полученные точки в том же порядке.

Движения и последовательное получение образа фигуры

Таблица помогает выбрать способ построения по тому, чем задано движение: прямой, точкой, углом или вектором. В последней строке особенно важно запомнить, что каждое новое действие выполняют с результатом предыдущего. Для проверки сравнивайте расстояния между соответствующими вершинами.

Разбор задач

Задача 1

Треугольник отражают относительно заданной прямой. Нужно построить его образ и указать равные соответствующие стороны. У вершин треугольника обозначим образы теми же буквами со штрихами.

1. Из каждой вершины проведите перпендикуляр к оси симметрии.
2. На другой стороне оси отложите такое же расстояние и получите точки A′, B′ и C′.
3. Соедините A′, B′ и C′ в том же порядке, что и исходные вершины.
4. Сравните стороны: отражение сохраняет расстояния между точками.

Ответ: образ — треугольник A′B′C′. Сторона A′B′ равна AB, B′C′ равна BC, а C′A′ равна CA.

Задача 2

Четырёхугольник сначала поворачивают на 90° вокруг заданной точки, а затем переносят на заданный вектор. Требуется построить итоговый образ. Главная особенность задачи — второе действие выполняется не с исходным, а с уже повернутым четырёхугольником.

1. Поверните каждую вершину вокруг центра на 90° и получите A′, B′, C′, D′.
2. Соедините эти точки по порядку, чтобы получить промежуточный образ.
3. Из каждой точки A′, B′, C′, D′ отложите один и тот же заданный вектор.
4. Обозначьте новые точки A″, B″, C″, D″ и соедините их в прежнем порядке.

Ответ: итоговый образ — четырёхугольник A″B″C″D″. Он равен исходному, потому что и поворот, и перенос сохраняют все расстояния.

Задача 3

Фигуру на клетчатой бумаге отражают сначала относительно одной прямой, затем относительно пересекающей её прямой. Нужно построить результат и сравнить его с исходной фигурой. Удобнее работать с вершинами, отсчитывая клетки до каждой оси.

1. Отразите каждую вершину относительно первой прямой и получите промежуточные точки.
2. Отразите эти точки относительно второй прямой, не возвращаясь к исходным вершинам.
3. Соедините итоговые точки в прежнем порядке.
4. Заметьте, что две оси пересекаются в одной точке, а итоговое перемещение похоже на поворот вокруг неё.

Ответ: итоговый образ равен исходной фигуре и получается поворотом вокруг точки пересечения осей. Угол поворота равен удвоенному углу между прямыми.

Типичные ошибки

Менять порядок движений. Так делают, потому что каждое движение сохраняет расстояния и кажется взаимозаменяемым. Проверьте себя на простой точке: выполните оба порядка и сравните её итоговые положения.

Неправильно отражать вершину. Иногда точку переносят не по перпендикуляру к оси или откладывают другое расстояние. Проверьте, что ось перпендикулярно пересекает отрезок между точкой и образом и делит его пополам.

Снова брать исходную фигуру после первого шага. Ошибка возникает, когда ученик забывает, что второе движение действует на промежуточный образ. Подпишите точки штрихами и применяйте следующий шаг только к ним.

Соединять вершины как угодно. При произвольном порядке стороны могут пересечься или получится другая граница. Сохраняйте порядок обхода вершин: A, B, C, затем соответствующие A′, B′, C′.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь строить осевую и центральную симметрию, поворот и параллельный перенос. Эти построения выполняют на чертеже или клетчатой бумаге, используя перпендикуляры, равные отрезки и направление сдвига.

Полезно знать свойства равных фигур и уметь измерять длины отрезков и углы. Тогда можно проверить, что движение действительно сохранило форму и размер фигуры.

Композиция движений пригодится при изучении геометрических построений, преобразований плоскости и симметрии орнаментов. Повторяющиеся отражения, повороты и переносы помогают создавать узоры.

Что запомнить

• Движение сохраняет расстояния между точками.
• Образ фигуры при движении равен исходной фигуре.
• При композиции движений каждое следующее преобразование применяют к результату предыдущего.
• Порядок движений может влиять на положение итогового образа.
• Чтобы построить образ многоугольника, достаточно построить образы его вершин и соединить их в прежнем порядке.
• Два отражения относительно пересекающихся прямых равносильны повороту вокруг точки пересечения.