"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю.
Склеивание фигур — это объединение двух фигур, которые совмещают по общей стороне или другой части. Обычно вторая фигура получается из первой движением плоскости: переносом, поворотом или отражением. Движение не меняет длины, углы и форму, но меняет положение фигуры. Поэтому одинаковые копии при разном совмещении могут образовать разные составные фигуры с разными границами и периметрами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Склеить две фигуры — значит совместить их по общей части так, чтобы получить одну составную фигуру. Общей частью может быть сторона, отрезок или другая совпавшая область. Это понятие нужно, чтобы правильно определить новую фигуру и её внешний контур.
Движение плоскости — это такое перемещение точек, при котором расстояния между ними не меняются. Фигура может перейти в другое место, но её длины, углы и форма сохраняются. Поэтому образ фигуры после движения равен исходной фигуре.
Параллельный перенос смещает все точки фигуры на одинаковое расстояние в одном направлении. Отрезки остаются параллельными исходным и равными им. Такой перенос удобен, когда копию нужно придвинуть к исходной по стороне.
Поворот перемещает фигуру вокруг выбранного центра, а отражение строит её зеркальную копию относительно прямой. В обоих случаях размеры и форма сохраняются, но части фигуры оказываются в новых местах. Поэтому копию можно совместить с исходной по нужной стороне или части границы.
После движения фигура сохраняет размеры и форму, потому что движение не изменяет расстояния между её точками. Если две точки были соединены отрезком определённой длины, после перемещения длина отрезка останется такой же. То же относится к углам и взаимному расположению сторон, поэтому копия равна исходной, хотя может оказаться в другой части плоскости.
Чтобы выбрать движение для склеивания, сначала находят сторону или другую часть, которая должна стать общей. Затем определяют, куда должна попасть копия: переносом её сдвигают, поворотом разворачивают вокруг центра, а отражением переводят на противоположную сторону прямой. Проверяют не только совпадение выбранной части, но и положение всей копии.
При объединении двух равных фигур совпавшая часть перестаёт быть частью внешней границы, если она находится внутри составной фигуры. Остальные стороны становятся элементами нового контура. Поэтому новая фигура может иметь другое число сторон и другую форму, хотя каждая её часть получена из исходной без изменения размеров.
Например, при переносе квадрат можно приставить к другому квадрату по стороне и получить прямоугольник. При повороте два одинаковых треугольника по разные стороны общей стороны обычно образуют четырёхугольник, а для равносторонних треугольников — ромб. При отражении относительно стороны копия окажется в зеркальном положении, и внешний контур может совпасть с результатом поворота или отличаться от него.
| Движение | Как перемещаются точки | Что сохраняется | Как может измениться составная фигура |
|---|---|---|---|
| Параллельный перенос | Все точки смещаются на одинаковое расстояние в одном направлении. | Расстояния, углы, длины и форма. | Фигуры могут примкнуть по стороне, образовав прямоугольник, полоску или другую составную фигуру. |
| Поворот | Точки движутся вокруг центра на один и тот же угол. | Расстояния, углы, длины и форма. | Общая сторона может соединить фигуры под новым направлением, поэтому контур меняется. |
| Отражение относительно прямой | Точки переходят на другую сторону прямой на одинаковое расстояние от неё. | Расстояния и форма, но меняется зеркальное положение. | Копия может расположиться симметрично и образовать новую фигуру с осью отражения внутри. |
| Общее свойство движений | Фигура переходит в новое положение без растяжения и сжатия. | Размеры и форму исходной фигуры. | Вид объединения зависит от взаимного расположения двух равных фигур. |
Пользуйтесь таблицей так: сначала определите, какое движение построило копию, а затем проследите путь её точек. После этого найдите общую часть и оставьте во внешнем контуре только незакрытые стороны.
Квадратную фигуру скопировали параллельным переносом так, что копия примыкает к исходной по стороне. Нужно определить фигуру, которую образует объединение. Будем считать, что квадраты имеют общую целую сторону и находятся по разные стороны от неё.
Ответ: объединение образует прямоугольник со сторонами, равными стороне квадрата и двум таким сторонам.
Два одинаковых треугольника склеили по общей стороне, а второй получили поворотом первого. Треугольники расположены по разные стороны общей стороны. Нужно определить вид объединения и понять, какие стороны составляют его границу.
Ответ: обычно получается четырёхугольник. Если исходные треугольники равносторонние, этот четырёхугольник будет ромбом, а его границу образуют четыре стороны, не являющиеся общей.
Даны две одинаковые фигуры, одна получена отражением относительно прямой, совпадающей с частью их границы. Нужно определить внешний контур объединения и сравнить его с результатом склеивания после поворота. Точный вид контура зависит от формы исходной фигуры и размера общей части.
Ответ: при отражении получается объединение, симметричное относительно заданной прямой, если вся конструкция расположена симметрично. После поворота симметрия и форма внешней границы могут измениться, хотя размеры обеих копий останутся прежними.
Ошибка 1. Считать, что любое движение даёт одну и ту же составную фигуру. Так думают, потому что каждая копия равна исходной. Проверьте именно взаимное положение копий и их общую часть.
Ошибка 2. Оставлять общую сторону частью внешней границы. Её часто замечают на чертеже и забывают, что она стала внутренней линией. Проведите контур только по сторонам, которые не закрыты другой фигурой.
Ошибка 3. Путать перенос, поворот и отражение. Все они сохраняют размеры, но перемещают точки разными способами. Проверьте, сдвигается ли фигура, вращается вокруг центра или переходит через прямую как в зеркале.
Ошибка 4. Определять фигуру только по внешнему виду рисунка. Неаккуратный чертёж может скрыть несовпадение сторон или разные длины. Сравните совпавшие части, сохранённые длины и замкнутость контура.
До изучения темы нужно знать, что значит равенство фигур, и уметь сравнивать длины сторон и величины углов. Также полезно представлять на плоскости перенос, поворот и отражение. Эти знания позволяют понять, почему полученная копия имеет те же размеры, что и исходная.
Склеивание связано с симметрией, составными фигурами и разбиением фигур на части. Позже такой способ рассуждения пригодится в задачах на площадь и периметр: сначала находят части и общие границы, а затем выполняют вычисления.
Почему после движения фигура остаётся равной исходной?
Движение сохраняет расстояние между любыми двумя точками фигуры. Поэтому не меняются длины сторон, углы и форма, а меняется только положение фигуры на плоскости.
Чем поворот отличается от отражения при склеивании фигур?
При повороте все точки движутся вокруг центра на один и тот же угол. При отражении точки переходят на другую сторону прямой так, что она становится их зеркальной границей. Поэтому копии могут занять разные положения относительно исходной фигуры.
Как понять, какая часть станет общей при склеивании?
Нужно посмотреть, какую сторону или часть границы можно совместить с исходной фигурой после движения. Совпавшая часть становится общей и обычно оказывается внутри объединения.
Входит ли общая сторона в периметр полученной фигуры?
Нет, если фигуры склеены по всей стороне и лежат по разные стороны от неё. Общая сторона становится внутренней линией, а периметр составляют только внешние стороны.
Могут ли одинаковые фигуры образовать разные фигуры при разных движениях?
Да. Перенос, поворот и отражение сохраняют каждую копию, но располагают её по-разному. Из-за этого меняются внешний контур, форма объединения и иногда его периметр.
23.1. Склеивание фигур, связанных разными движениями
