"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю.
Орнамент — это узор, в котором фигуры или их группы повторяются по определённому правилу. Повторение помогает объединить отдельные элементы в целостный рисунок и понять, как его продолжить. Самую короткую повторяющуюся часть называют раппортом. Орнамент может тянуться вдоль полосы или заполнять участок плоскости, а его устройство иногда связано с перемещением, поворотом, отражением и симметрией.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Орнамент — узор, построенный из повторяющихся элементов. Отдельные фигуры в нём расположены не случайно: их повторение создаёт общий рисунок. Это определение помогает отличить орнамент от набора фигур, между которыми нет правила. Чтобы описать узор, сначала ищут то, что в нём повторяется.
Элемент орнамента — фигура или группа фигур, повторением которой образуется узор. Элементом может быть, например, один лист или сочетание листа и точки. Если повторяется именно группа, рассматривать только одну её фигуру недостаточно. Поиск элемента помогает понять, из каких частей составлен рисунок.
Раппорт — наименьшая часть орнамента, повторение которой продолжает узор. Он может включать несколько разных фигур, если они повторяются вместе. Раппорт нужен, чтобы обнаружить правило построения рисунка и не перепутать его с более крупным фрагментом. Чем точнее найден раппорт, тем проще продолжить узор.
Бордюр — орнамент, который повторяется вдоль одной прямой. Обычно он выглядит как узорная полоса, продолжающаяся в одном направлении. Такое название помогает отличить его от рисунка, который повторяется по всей плоскости. Для описания бордюра достаточно указать его раппорт и направление повторения.
Орнамент возникает, когда выбранный элемент размещают снова и снова по одному правилу. Например, можно расположить одинаковые фигуры на равном расстоянии вдоль полосы. Если менять расстояния или порядок без закономерности, целостность узора теряется. Поэтому сначала находят элемент, а затем выясняют, как именно он повторяется.
Раппорт помогает заметить правило, потому что показывает минимальный фрагмент, который уже содержит нужную последовательность. Найдя его, можно сравнить соседние части рисунка и понять, что в них неизменно. Затем достаточно повторить тот же фрагмент, чтобы предсказать продолжение узора. Если выбран слишком большой кусок, простое правило может остаться незамеченным.
Одинаковые части орнамента могут получаться разными преобразованиями. При перемещении фигура сдвигается, сохраняя форму и направление; при повороте меняет направление вокруг точки, а при отражении становится зеркальным изображением. Сравнение соответствующих частей показывает, какое правило использовано. Это важно, потому что одинаковые по форме фигуры не всегда одинаково ориентированы.
Бордюр продолжается вдоль полосы, поэтому его повторение можно проследить в одном направлении. Узор на плоскости устроен иначе: элементы повторяются, например, вправо и вверх, заполняя участок поверхности. Сравнение этих случаев помогает определить, где именно действует правило повторения. Один ряд фигур ещё не означает, что рисунок заполняет всю плоскость.
Симметрия описывает совпадение частей рисунка после определённого преобразования. Ось симметрии — прямая, относительно которой отражение оставляет рисунок неизменным; центр симметрии — точка, вокруг которой поворот на 180° сохраняет его. Такие признаки помогают точнее описать устройство орнамента. Проверять нужно весь рассматриваемый узор: симметрия отдельной фигуры не гарантирует симметрию рисунка целиком.
| Вид или признак | Как устроен | Как распознать |
|---|---|---|
| Бордюр | Орнамент повторяется вдоль полосы | Можно указать направление повторения и раппорт |
| Узор на плоскости | Элементы повторяются в нескольких направлениях | Рисунок заполняет участок плоскости |
| Симметрия | Части узора связаны отражением или поворотом | Можно найти ось или центр симметрии |
Сначала определи, повторяется ли рисунок вдоль одной полосы или в нескольких направлениях. Затем выдели раппорт и проследи, как он преобразуется при повторении. Симметрию проверяй отдельно: она описывает совпадение частей, но сама по себе не заменяет правило повторения.
Задача 1. В полосе повторяется узор из двух треугольников и кружка. Найдите раппорт и продолжите узор ещё на два повторения. Считаем, что фигуры внутри каждого повторения расположены в указанном порядке. Нужно сохранить не только сами фигуры, но и их последовательность.
Ответ: раппорт — два треугольника и кружок; дальше нужно повторить эту последовательность два раза. Если по рисунку видно, что отдельная фигура уже повторяет весь узор, раппорт следует уточнить. Решение опирается на наименьший фрагмент, а не просто на удобный большой кусок полосы.
Задача 2. Для бордюра дан фрагмент с листом и точкой. Определите, каким перемещением получен следующий такой же фрагмент, и достройте узор. Чтобы установить преобразование, сравним не только форму, но и направление листа, а также положение точки. Если они сохраняют взаимное расположение и ориентацию, фрагмент просто сдвинули вдоль полосы.
Ответ: при сохранении ориентации следующий фрагмент получен сдвигом; узор продолжают тем же сдвигом. Если лист в следующем фрагменте развернут или отражён, одного сдвига недостаточно — нужно учитывать поворот или отражение. Сравнивать следует соответствующие части целиком.
Задача 3. На рисунке изображён узор из одинаковых фигур. Найдите оси симметрии его раппорта и объясните, сохраняется ли узор при отражении относительно каждой из них. Сам рисунок в условии не задан, поэтому назвать конкретные оси нельзя. Их находят проверкой совпадения фрагмента с его зеркальным отражением.
Ответ: оси раппорта — те прямые, относительно которых он совпадает со своим отражением; для каждой оси вывод о целом узоре делают отдельной проверкой. Без самого рисунка перечислить конкретные прямые невозможно. Такой способ не позволяет принять симметрию одной фигуры за симметрию всего орнамента.
Для изучения орнаментов нужно уметь распознавать равные фигуры: так легче сравнивать повторяющиеся элементы. Знание симметрии и простых геометрических преобразований помогает объяснить, как одна часть рисунка получается из другой. Орнаменты можно увидеть в архитектуре, декоративно-прикладном искусстве и дизайне, где повторение помогает создавать цельное оформление. Эти представления пригодятся дальше при изучении симметрии и преобразований фигур.
Как понять, где заканчивается один раппорт и начинается следующий?
Найди самый короткий фрагмент, который повторяется без изменения порядка фигур. Мысленно отметь его начало и конец, затем проверь, можно ли сдвинуть этот фрагмент и получить продолжение узора. Если часть фрагмента можно убрать, а правило повторения сохранится, выбранный раппорт был слишком большим.
Может ли раппорт состоять из нескольких разных фигур?
Да, раппортом может быть одна фигура или группа разных фигур. Например, последовательность из двух треугольников и кружка может повторяться целиком. Главное, чтобы этот фрагмент был наименьшим и его повторение воспроизводило узор.
Чем бордюр отличается от узора, заполняющего плоскость?
Бордюр повторяется вдоль одной полосы, то есть в одном направлении. Узор на плоскости повторяет элементы в нескольких направлениях и заполняет некоторый участок поверхности.
Обязательно ли орнамент должен иметь ось симметрии?
Нет. Орнамент определяется повторением элементов, а не обязательным наличием симметрии. Чтобы проверить ось, нужно отразить относительно неё весь узор и посмотреть, совпадёт ли он сам с собой.
Как продолжить орнамент, если часть узора закрыта?
Сначала найди видимые повторяющиеся фрагменты и определи раппорт. Затем установи, как он повторяется: например, сдвигается вдоль полосы или в нескольких направлениях. Закрытые части восстанови по этому правилу, не меняя порядок и расположение фигур.
23.2. Орнаменты
