§ 24. Фигуры, составленные из равных частей

Определения и обозначения

Равные части — части фигуры, совпадающие по форме и размерам при наложении. Например, если одну часть можно повернуть или передвинуть так, чтобы она полностью закрыла другую, части равны. Это понятие нужно, чтобы правильно считать площади по частям. Одного совпадения площадей недостаточно: форма тоже должна совпадать.

Разбиение фигуры на равные части — разделение фигуры линиями на части одинаковой формы и площади. Линии проводят так, чтобы фигура не потеряла ни одной области и части не накладывались друг на друга. Такое разбиение помогает увидеть, из каких одинаковых элементов состоит фигура. Проверка равенства нужна до вычислений, иначе общий результат может оказаться неверным.

Фигура, составленная из равных частей, — фигура, которую можно представить как объединение нескольких равных частей. Части вместе образуют всю фигуру, не оставляя промежутков и не заходя одна на другую. Это представление удобно для фигур со сложными очертаниями. Вместо вычисления всей площади сразу можно рассмотреть один повторяющийся элемент.

Площадь одной части — величина, показывающая, сколько места занимает одна равная часть фигуры. Её измеряют в квадратных единицах, например в см². Зная эту площадь и число частей, можно восстановить площадь целой фигуры. Если известна площадь целого, по ней можно найти площадь одной части.

Как это устроено

Чтобы распознать равные части, сначала сравнивают их форму и размеры. Можно мысленно передвигать и поворачивать части: если одна полностью совмещается с другой, они равны. Поворот не меняет ни форму, ни размер, поэтому части, направленные по-разному, тоже могут быть равными. Проверка нужна потому, что одинаковая площадь не гарантирует одинаковую форму.

Площадь всей фигуры равна сумме площадей всех её частей, потому что части вместе покрывают фигуру без пропусков и наложений. Если каждая часть равна и занимает площадь s, то при сложении получаем s + s + … + s. Повторяющееся сложение заменяют умножением: площадь целого равна площади одной части, умноженной на число частей. Например, при шести частях складывать одну и ту же площадь шесть раз не требуется.

Число частей определяют по областям, ограниченным линиями разбиения, а не по самим линиям. Каждая отдельная область считается один раз, даже если она вытянута или повернута иначе, чем соседние. Поэтому полезно мысленно обвести каждую часть или отмечать уже посчитанные области. Особое внимание нужно уделить краям фигуры: там могут находиться части, которые легко пропустить.

Если известна площадь целой фигуры, а части равны, общую площадь можно разделить на число частей. Причина в том, что целое получено сложением одинаковой площади несколько раз. Деление как раз отвечает на вопрос, сколько приходится на одну такую часть. Перед вычислением проверь, что известное число относится к частям, а не к линиям или вершинам.

Разбиение помогает сравнивать площади фигур сложной формы, потому что для каждой фигуры можно отдельно посчитать площадь одинаковых элементов. Сначала находят площадь одной фигуры, умножив площадь её части на число частей, затем так же вычисляют площадь другой. Сравнивают уже полученные значения в одинаковых единицах измерения. Число частей само по себе не всегда решает, какая фигура больше: важен и размер каждой части.

Связь площади фигуры и её равных частей

Чтобы воспользоваться таблицей, найди, какие величины известны. Если даны площадь одной части и число частей, выбери действие умножения. Результат будет площадью всей фигуры.

Разбор задач

Задача 1. Фигура разделена на 6 равных частей. Площадь каждой части равна 4 см². Найдите площадь всей фигуры. Части равны, поэтому каждая из них занимает одинаковую площадь, а вся фигура состоит из шести таких областей. Значит, нужно сложить шесть площадей по 4 см² или выполнить умножение.

1. Определяем число частей: n = 6.
2. Записываем площадь одной части: s = 4 см².
3. Находим площадь фигуры: S = s × n = 4 × 6 = 24 см².

Ответ: 24 см². Проверка: если разделить 24 см² на 6 равных частей, на каждую придётся 4 см². Это совпадает с условием задачи.

Задача 2. Площадь фигуры равна 35 см², она составлена из 5 равных частей. Найдите площадь одной части. Общая площадь распределена поровну между пятью одинаковыми частями. Поэтому вместо умножения нужно выполнить обратное действие — деление. Найденная площадь одной части при сложении пяти раз должна дать 35 см².

1. Записываем известные данные: S = 35 см², n = 5.
2. Делим площадь фигуры на число равных частей: s = 35 ÷ 5.
3. Вычисляем: s = 7 см².

Ответ: 7 см². Проверим результат умножением: 7 × 5 = 35, значит, площадь всех пяти частей равна площади фигуры. Делить площадь части на число частей здесь было бы неверно: так мы уменьшили бы уже маленькую величину.

Задача 3. Сравните площади двух сложных фигур: первая состоит из 8 равных частей площадью 3 см² каждая, а вторая — из 5 равных частей площадью 5 см² каждая. Сначала нужно найти площадь каждой фигуры отдельно. Сравнивать только количество частей нельзя, потому что части у фигур имеют разную площадь. После умножения оба результата будут выражены в см².

1. Находим площадь первой фигуры: 8 × 3 = 24 см².
2. Находим площадь второй фигуры: 5 × 5 = 25 см².
3. Сравниваем результаты: 25 см² больше, чем 24 см².

Ответ: площадь второй фигуры больше на 1 см². Разность получаем вычитанием: 25 − 24 = 1 см². Хотя в первой фигуре больше частей, каждая часть второй фигуры крупнее, поэтому её общая площадь больше.

Типичные ошибки

Ученик считает линии разбиения вместо частей, потому что границы хорошо заметны на рисунке. Но линия только отделяет области и может быть общей для двух соседних частей. Чтобы проверить себя, отмечай каждую область по одному разу и считай именно замкнутые части фигуры. Если число линий не совпадает с числом областей, это не удивительно: это разные объекты.

Ученик складывает площади разных частей как равные, не проверив их форму и размеры. Такое случается, когда части выглядят похожими или занимают одинаковую площадь, но на самом деле одна из них устроена иначе. Перед применением умножения нужно проверить, можно ли совместить части наложением. Если это невозможно, площади частей рассматривают отдельно.

Ученик делит площадь одной части на число частей вместо умножения, неверно определив, что требуется найти. Деление используют, когда ищут площадь одной части по площади целой фигуры, а не когда собирают целое из частей. Проверь, какая величина неизвестна: площадь целого или одной части. Обратная проверка поможет заметить ошибку: площадь части, умноженная на число частей, должна дать площадь фигуры.

Ученик пропускает часть у края или в другом направлении и получает неверное число частей. Повернутую область легко не заметить, если считать только части, расположенные привычно. Для проверки проследи границы всей фигуры и обведи каждую область, в том числе крайние. Затем сравни число найденных частей с тем, сколько из них действительно помещается внутри фигуры.

Связь с другими темами

Для работы с такими фигурами нужно знать единицы площади и уметь находить площадь прямоугольника. Умножение помогает перейти от площади одной части к площади целой фигуры, а деление — выполнить обратный переход. Тема пригодится при вычислении площади сложных многоугольников, которые можно разделить на удобные элементы. Она также связана с долями и дробями: одна из n равных частей составляет 1/n всей фигуры.

Что запомнить

• Равные части имеют одинаковую форму и одинаковую площадь.
• Площадь всей фигуры равна сумме площадей всех её частей.
• Если все части равны, площадь всей фигуры находят умножением площади одной части на число частей.
• Площадь одной части равна площади всей фигуры, делённой на число частей.
• Перед вычислением нужно правильно определить число равных частей.
• Для сравнения сложных фигур удобно выразить их площади через площадь одной равной части.