24.1. Совмещенные фигуры

Определения и обозначения

Совмещённые фигуры — фигуры, которые при наложении полностью совпадают. Это означает, что ни одна часть одной фигуры не выступает за другую и нигде не остаётся незаполненного места. Такое определение помогает точно отличать полное совпадение от простого сходства.

Наложение фигур — мысленное или практическое перемещение одной фигуры на другую для проверки их совпадения. Например, бумажную фигуру можно вырезать и положить поверх другой, а на чертеже — представить её перемещение. Наложение нужно, чтобы проверить совпадение, не изменяя саму фигуру.

Соответствующие точки — точки двух совмещённых фигур, которые при наложении оказываются в одном месте. Например, вершина одного треугольника может соответствовать вершине другого. Это понятие помогает проследить, какие именно точки и части нужно сравнивать.

Равные фигуры — фигуры, которые можно совместить наложением. Они могут находиться на рисунке в разных местах и быть повёрнуты по-разному, но при подходящем перемещении полностью совпадут. Поэтому равенство определяют не по исходному расположению, а по возможности наложения.

Как это устроено

При проверке совмещения одну фигуру перемещают, не меняя её форму и размеры. Причина в том, что перемещение переносит каждую точку фигуры на новое место, сохраняя расстояния между точками. Поэтому фигура остаётся прежней, только оказывается в другом положении.

Иногда достаточно сдвинуть фигуру: все её точки перемещаются в одном направлении на одинаковое расстояние. В другом случае понадобится поворот, например если треугольник направлен вершиной вверх, а второй — в сторону. Бывает нужен переворот, чтобы поменять фигуру «лицом» к другой; он тоже сохраняет длины и форму.

Совпадение означает, что в одном месте оказываются все точки фигур, а не только отдельные стороны или контуры. Если совпали лишь несколько вершин, остальные части всё ещё могут расходиться. Даже одинаковые внешние границы не всегда гарантируют полное совпадение: нужно проверить, что совпадает вся фигура, включая её внутренние части, если они есть.

Если фигуры удаётся совместить без изменения их формы и размеров, они равны. Это остаётся верным, даже если на рисунке одна фигура расположена выше, повёрнута или перевёрнута относительно другой. Значит, равенство описывает свойство самих фигур, а не то, как они лежат на листе.

Чтобы проверить совмещение, сначала сопоставляют характерные точки, например вершины, а затем сравнивают соответствующие стороны и остальные части. Одно и то же перемещение должно поставить все соответствующие точки на места одновременно. Если для совпадения одной стороны пришлось бы переместить фигуру иначе, чем для другой, полного совмещения нет.

Как проверять совмещение фигур

В таблице собраны признаки, которые нужно учитывать при наложении. Последняя строка показывает, какие действия допустимы, а какие меняют саму фигуру.

Пользуйся таблицей как списком проверок: начни с допустимого перемещения, затем сопоставь точки, стороны, форму и размер. Если какой-либо признак не выполняется, фигуры не совмещаются.

Разбор задач

Задача 1. Даны два одинаковых треугольника, расположенных по-разному. Определите, можно ли совместить их сдвигом.

1. Отметим, какие вершины одного треугольника соответствуют вершинам другого. Для сдвига каждой вершине нужно переместиться в одном направлении и на одно и то же расстояние.
2. Проверим, подходит ли один и тот же сдвиг для всех трёх вершин. Если подходит, то стороны тоже окажутся на месте, потому что они соединяют соответствующие вершины.
3. Если треугольники одинаковы, но один из них повёрнут или перевёрнут, одного сдвига может не хватить. Тогда нужно проверить возможность поворота или переворота.

Ответ: сдвигом треугольники совмещаются только тогда, когда их соответствующие вершины уже расположены одинаково относительно друг друга. Если направления сторон различаются, понадобятся другие перемещения.

Задача 2. Даны два треугольника: один повёрнут относительно другого. Установите, являются ли они совмещёнными.

1. Сначала выберем соответствующие вершины и представим, куда они должны попасть. Поворот может изменить направление треугольника, но не расстояния между его вершинами.
2. Мысленно повернём один треугольник так, чтобы его соответствующие вершины оказались рядом с вершинами второго. Затем проверим, совпадают ли все три вершины при одном положении.
3. Если вершины совпали, проверим стороны. Они должны наложиться целиком; тогда совпадут и все точки внутри треугольников.

Ответ: треугольники совмещённые, если после поворота совпали все соответствующие вершины и стороны. Сам факт, что один треугольник повёрнут, не мешает совмещению.

Задача 3. Даны две фигуры одинаковой формы, но одна из них больше. Объясните, можно ли совместить их наложением.

1. Сравним соответствующие стороны и части фигуры. Если одна фигура больше, хотя очертания похожи, размеры соответствующих частей не совпадут.
2. Попробуем перемещать меньшую фигуру: сдвиг, поворот и переворот меняют только её положение. Длина её сторон при этом не становится больше.
3. Растяжение могло бы изменить размер, но оно деформирует исходную фигуру и не является допустимым перемещением при наложении.

Ответ: совместить такие фигуры нельзя. Одинаковой формы недостаточно: для наложения должны совпадать и размеры.

Типичные ошибки

Ошибка — считать фигуры совмещёнными, если совпали только отдельные стороны или вершины. Так думают, потому что заметное совпадение нескольких частей кажется достаточным. Проверь себя: все ли точки и части совпадают одновременно после одного перемещения?

Ошибка — путать совмещение с одинаковым расположением на рисунке. Из-за этого повёрнутую или перевёрнутую фигуру могут принять за другую, хотя её можно наложить на первую. Проверь, исчезнет ли различие после поворота или переворота без изменения размера.

Ошибка — растягивать или сжимать фигуру, чтобы она совпала. Это кажется удобным способом подогнать контуры, но меняет расстояния между точками и размер фигуры. Проверь себя: если пришлось изменить длину стороны, значит, допустимого перемещения не было.

Ошибка — делать вывод о равенстве только по внешнему сходству. На рисунке фигуры могут выглядеть одинаковыми, хотя размеры их частей различаются. Сопоставь соответствующие точки и стороны и проверь, совпадут ли они при одном наложении.

Связь с другими темами

Перед изучением совмещения нужно уметь различать геометрические фигуры, находить их стороны и вершины. Эти знания помогают выбирать соответствующие точки и проверять, какие части должны совпасть при наложении. Без такого сравнения легко заметить только общий контур и пропустить различия.

Совмещение пригодится при изучении равных отрезков и углов: наложение позволяет увидеть, совпадают ли их длины или величины. Позже тот же способ рассуждения используют, чтобы доказывать равенство геометрических фигур. Сначала устанавливают соответствие частей, а затем проверяют, что их совпадение следует из условий задачи.

Что запомнить

• Совмещённые фигуры полностью совпадают при наложении.
• Равные фигуры можно совместить наложением.
• Сдвиг, поворот и переворот не меняют форму и размер фигуры.
• Растяжение и сжатие не являются перемещением без изменения фигуры.
• При проверке нужно сопоставить все соответствующие точки и части.