24.2. Фигуры, обладающие симметрией

Определения и обозначения

Ось симметрии фигуры — прямая, относительно которой фигура при отражении совмещается сама с собой. Можно представить зеркало, поставленное вдоль этой прямой: одна часть фигуры должна отразиться точно на другую. Это определение помогает отличить настоящую ось от любой прямой, которая просто проходит через фигуру.

Точки симметричны относительно прямой, если они лежат на одном перпендикуляре к этой прямой, но по разные стороны от неё и на одинаковом расстоянии. Перпендикуляр пересекает прямую под прямым углом. По этому правилу можно находить соответствующую точку и проверять, правильно ли выполнено отражение.

Центр симметрии фигуры — точка, относительно которой фигура при центральной симметрии совмещается сама с собой. При таком преобразовании фигуру поворачивают на 180° вокруг этой точки. Центр помогает проверить, сохраняется ли форма фигуры при таком повороте.

Точки симметричны относительно точки, если эта точка является серединой отрезка, который соединяет их. Значит, обе точки находятся на одной прямой по разные стороны от центра и на равных расстояниях от него. Это условие позволяет построить одну точку, если известны центр и другая точка.

Как это устроено

Чтобы определить точку, симметричную заданной относительно прямой, сначала нужно найти кратчайшее расстояние от точки до прямой: оно измеряется по перпендикуляру. Проведи такой перпендикуляр через исходную точку и отметь место, где он пересекает прямую. Затем отложи от этого места в другую сторону отрезок той же длины: так новая точка окажется на равном расстоянии от прямой. Если отложить длину по наклонной, расстояния до оси могут различаться, и отражения не получится.

Точка на оси не смещается при отражении, потому что расстояние от неё до оси равно нулю. Ей не нужно переходить на другую сторону прямой, чтобы найти точку на таком же расстоянии. Поэтому каждая точка оси остаётся на месте, а точки вне оси попарно меняются местами со своими отражениями.

Центральную симметрию удобно представить как поворот на пол-оборота, то есть на 180°, вокруг выбранной точки. После такого поворота каждая точка переходит в соответствующую ей точку на противоположной стороне от центра. Центр оказывается ровно посередине между ними: поворот сохраняет расстояние до центра, а направление меняется на противоположное. Поэтому середина отрезка между соответствующими точками и есть центр симметрии.

Чтобы проверить осевую симметрию, мысленно отрази фигуру относительно предполагаемой прямой и сравни обе части. Можно вообразить сгиб по этой прямой: если части точно наложились, прямая подходит; если контуры разошлись, она не является осью. Для центральной симметрии представь поворот фигуры на 180° вокруг предполагаемой точки и проверь, совпали ли все её части.

У фигуры может быть несколько осей симметрии: например, у квадрата их четыре, а у круга — бесконечно много, поскольку подходит любая прямая через его центр. У прямоугольника, который не является квадратом, две оси и один центр симметрии — пересечение диагоналей. У произвольного неравнобедренного треугольника нет ни оси, ни центра симметрии: ни отражение, ни поворот на 180° не совмещают его с собой.

Сравнение осевой и центральной симметрии

Пользуйся таблицей, чтобы сначала определить, какое преобразование рассматривается: отражение или поворот. Затем проверь расположение соответствующих точек и то, что остаётся на месте. Примеры показывают, что одна фигура может обладать обоими видами симметрии.

Разбор задач

Задача 1. Построить точку, симметричную данной относительно прямой

Дана точка A и прямая l. Нужно построить точку A′, симметричную точке A относительно прямой l. Важно не просто отложить такой же отрезок в сторону, а построить его по перпендикуляру к прямой: именно так сохраняется нужное расстояние до оси.

1. Через точку A проведи перпендикуляр к прямой l и обозначь точку пересечения буквой H.
2. Измерь отрезок AH, то есть расстояние от исходной точки до прямой.
3. На том же перпендикуляре, по другую сторону от l, отметь точку A′ так, чтобы HA′ = AH.
4. Проверь, что H находится между A и A′, а отрезки AH и HA′ равны.

Полученная точка лежит на перпендикуляре к оси и на таком же расстоянии от неё, как точка A. Это и есть условие симметрии относительно прямой. Ответ: точка A′, построенная по другую сторону l на расстоянии AH от прямой.

Задача 2. Определить оси симметрии отрезка, треугольника и прямоугольника

Нужно выяснить, какие из трёх фигур совмещаются сами с собой при отражении. Для каждой фигуры рассматривай возможные прямые отдельно: одного пересечения прямой с фигурой недостаточно. Если вид треугольника не уточнён, число его осей зависит от того, равны ли его стороны.

1. У отрезка проведи прямую через его середину перпендикулярно отрезку. При отражении концы меняются местами, поэтому отрезок совпадает сам с собой.
2. Для треугольника проверь его вид. У равнобедренного треугольника ось проходит через вершину между равными сторонами и середину противоположной стороны; у равностороннего таких осей три, а у разностороннего осей нет.
3. У прямоугольника проверь две прямые через центр, параллельные его сторонам. Отражение относительно каждой из них меняет местами противоположные части и сохраняет контур.

У прямоугольника, который не является квадратом, диагонали не являются осями: отражённые стороны не наложатся на исходные. Ответ: у отрезка одна ось, у прямоугольника две; число осей треугольника определяется его видом: три, одна или ни одной.

Задача 3. Проверить центр симметрии и построить соответствующую вершину

Дана фигура, предполагаемый центр O и её вершина A. Нужно выяснить, есть ли у фигуры центр симметрии, а если он есть — построить точку, соответствующую вершине A. Так как форма фигуры не уточнена, сначала проверяют совпадение всей фигуры, а не только положение одной пары точек.

1. Мысленно поверни фигуру на 180° вокруг точки O. Если после поворота весь контур совпадает с исходным, O — центр симметрии; если нет, центр не подходит.
2. Проведи прямую через A и O: соответствующая вершина A′ должна лежать на ней с другой стороны от O.
3. Измерь OA и отложи от O в противоположном направлении отрезок OA′ такой же длины.
4. Проверь, что O — середина AA′ и что построенная точка соответствует вершине при повороте фигуры.

Условие OA = OA′ само по себе строит точку, симметричную A относительно O, но симметрию всей фигуры подтверждают только совпадением после поворота. Например, у прямоугольника таким центром служит пересечение диагоналей. Ответ: если фигура совпала при повороте, вершина A′ строится на продолжении AO так, чтобы OA′ = OA.

Типичные ошибки

Ошибка: считать осью любую прямую, проходящую через фигуру. Такая прямая может разделять её на части разной формы, поэтому отражение не даст совпадения. Ошибку допускают, когда смотрят только на то, что прямая проходит через середину фигуры. Проверь себя: мысленно отрази контур или перегни фигуру по прямой — части должны наложиться полностью.

Ошибка: располагать точки по разные стороны от оси, но не проверять перпендикулярность и равенство расстояний. Тогда точки могут оказаться не отражениями друг друга, даже если выглядят симметрично. Это случается, если откладывают расстояние по наклонной или измеряют его неточно. Проведи перпендикуляр к оси и сравни отрезки от неё до обеих точек.

Ошибка: называть центр симметрии любой точкой, вокруг которой можно повернуть фигуру. Сам факт поворота ещё ничего не доказывает: при центральной симметрии угол поворота должен быть 180°, а фигура обязана совпасть сама с собой. Не путай это условие с поворотом на другой угол. Проверь и совпадение контура, и то, что центр является серединой отрезка между соответствующими точками.

Ошибка: считать, что у каждой фигуры обязательно есть ось или центр симметрии. Некоторые фигуры не совпадают с собой ни при одном отражении, ни при повороте на 180°. Такую ошибку вызывают знакомые примеры вроде квадрата и круга, которые ошибочно принимают за правило для всех фигур. Проверяй каждую фигуру отдельно: попробуй возможные отражение и поворот, не предполагая заранее, что симметрия есть.

Связь с другими темами

Для построения симметричной точки нужно уметь проводить перпендикуляр и сравнивать длины отрезков. Для центральной симметрии особенно важно знать, как находить середину отрезка: центр должен делить соединяющий точки отрезок пополам. Эти умения помогают выполнять геометрические построения аккуратно и проверять результат по условиям задачи.

Симметрия связана с геометрическими преобразованиями: отражение и поворот изменяют положение фигуры, но сохраняют её форму и размеры. Она пригодится при построении фигур и распознавании свойств многоугольников. Например, оси и центр симметрии прямоугольника помогают объяснить, почему его противоположные части устроены одинаково.

Что запомнить

• При осевой симметрии ось является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему соответствующие точки.
• Точки на оси симметрии остаются на месте.
• При центральной симметрии центр является серединой отрезка между соответствующими точками.
• Центральная симметрия равносильна повороту на 180° вокруг центра.
• Фигура обладает симметрией, если при соответствующем преобразовании совмещается сама с собой.
• У фигуры может быть несколько осей симметрии или ни одной.