24.3. О привлекательности форм

Определения и обозначения

Пропорция — это равенство двух отношений. Например, запись 12 : 8 = 8 : 5 показывает, что сравнение целого с одной частью такое же, как сравнение этой части с другой. Пропорция нужна, чтобы описывать, как соотносятся части предмета или фигуры.

Золотое сечение — деление отрезка на большую и меньшую части так, что весь отрезок относится к большей части, как большая часть к меньшей. Значит, эти части не одинаковы, а пропорционально связаны между собой и с целым. Это определение позволяет проверить, соответствует ли деление особому соотношению частей.

Золотое отношение — отношение большей части к меньшей при золотом сечении. Если обозначить его буквой x, то выполняется равенство x² = x + 1. Положительное значение этого отношения примерно равно 1,62, поэтому оно удобно для сравнения длин.

Золотой прямоугольник — прямоугольник, у которого большая сторона относится к меньшей как золотое отношение. Иначе говоря, результат деления длинной стороны на короткую близок к 1,62. Это определение помогает проверять пропорции прямоугольников по измерениям.

Как это устроено

Пусть большая часть отрезка равна a, а меньшая — b. При золотом сечении отношение всего отрезка к большей части равно отношению большей части к меньшей: (a + b) / a = a / b. Если обозначить a / b через x, то левая часть равна 1 + b / a, а b / a = 1 / x. Получается x = 1 + 1 / x, или x² = x + 1; положительное решение равно (1 + √5) / 2 ≈ 1,618, то есть примерно 1,62.

Чтобы проверить прямоугольник, сначала найдите, какая сторона длиннее, а какая короче. Разделите длину большей стороны на длину меньшей: например, для сторон 10 см и 6 см нужно вычислить 10 / 6. Если частное близко к 1,62, пропорции близки к золотым. Равенство не обязательно будет точным, потому что числа часто округляют, а измерения предметов могут иметь небольшую погрешность.

Обозначим длинную сторону золотого прямоугольника через L, а короткую — через S. Если отрезать квадрат со стороной S, то оставшаяся фигура будет иметь стороны S и L − S. Из золотого отношения L / S = S / (L − S): стороны оставшейся фигуры относятся так же, как длинная и короткая стороны исходной. Поэтому новый прямоугольник снова имеет золотые пропорции.

Соотношение частей и целого влияет на то, как мы воспринимаем форму: одни пропорции могут казаться глазу более уравновешенными, чем другие. Золотое отношение — один из способов описать такое соотношение и сравнить фигуры. Но впечатление зависит не только от чисел: важны также очертания, цвет, расположение фигуры и её окружение. Поэтому золотая пропорция может быть привлекательной, но не служит единственным правилом красоты.

Искать золотые пропорции можно в книгах, открытках, экранах, окнах и других прямоугольных предметах. Измерьте большую и меньшую стороны, а затем сравните их отношение с 1,62. Так можно обнаружить близкое совпадение, но не следует заранее считать его точным: предмет может быть немного деформирован, границы бывает трудно измерить, а результат зависит от округления. Найденное сходство — это наблюдение, а не доказательство того, что форму специально создавали по золотому сечению.

Сравнение прямоугольников по пропорциям

Сначала сравните отношение сторон: у любого прямоугольника оно больше 1, а у золотого близко к 1,62. Затем проверьте, что происходит при удалении квадрата со стороной, равной короткой стороне: сохранение пропорции — особенность золотого прямоугольника. Последняя строка напоминает, что таблица описывает размеры, а не выносит окончательный вердикт о красоте.

Разбор задач

Задача 1. Стороны прямоугольника равны 8 см и 5 см. Проверьте, близки ли его пропорции к золотым. Для ответа нужно сопоставить отношение большей стороны к меньшей с числом 1,62. Если разница небольшая, можно считать пропорции близкими.

1. Определим большую сторону: это 8 см, а меньшая сторона равна 5 см.
2. Найдём их отношение: 8 / 5 = 1,6.
3. Сравним с золотым отношением: 1,6 близко к 1,62, разница составляет 0,02.

Ответ: пропорции прямоугольника близки к золотым, хотя отношение сторон не равно 1,62 в точности.

Задача 2. Отрезок длиной 20 см разделён на части 12 см и 8 см. Определите, является ли деление золотым. Важно проверить оба отношения из определения, а не только отношение частей друг к другу. При золотом сечении целое и большая часть должны давать такое же отношение, как большая и меньшая части.

1. Большая часть равна 12 см, меньшая — 8 см.
2. Найдём отношение целого к большей части: 20 / 12 = 5 / 3 ≈ 1,67.
3. Найдём отношение большей части к меньшей: 12 / 8 = 1,5. Отношения не равны, поэтому деление не является золотым.

Ответ: нет, деление не золотое: 1,67 не равно 1,5. Можно также заметить, что отношение частей 12 / 8 не близко к 1,62.

Задача 3. У золотого прямоугольника короткая сторона равна 6 см. Найдите приближённую длину длинной стороны и объясните, почему после удаления квадрата останется золотой прямоугольник. Длинная сторона примерно в 1,62 раза больше короткой. Для второй части задачи используем свойство пропорций золотого прямоугольника.

1. Умножим короткую сторону на золотое отношение: 6 · 1,62 = 9,72 см.
2. Значит, длинная сторона приблизительно равна 9,72 см. Это приближённая длина, потому что золотое отношение округлено.
3. Отнимем квадрат со стороной 6 см: короткая сторона оставшейся фигуры равна 6 см, длинная — 9,72 − 6 = 3,72 см.
4. Отношение 6 / 3,72 ≈ 1,61, оно близко к 1,62. Это согласуется с тем, что у золотого прямоугольника после удаления квадрата остаётся прямоугольник с теми же пропорциями.

Ответ: длинная сторона примерно 9,72 см; после удаления квадрата оставшаяся фигура снова близка по пропорциям к золотому прямоугольнику.

Типичные ошибки

Путать золотое сечение с делением пополам. Так можно ошибиться, потому что оба способа делят один отрезок на части, но при золотом сечении части разные. Проверьте длины: большая часть должна быть больше меньшей, а их отношение — близко к 1,62. Если части одинаковы, это середина отрезка, а не золотое сечение.

Сравнивать только большую часть с меньшей. Отношение этих частей должно быть золотым, но одного этого недостаточно для проверки определения. Нужно также сравнить целое с большей частью: эти два отношения должны быть одинаковыми. Для самопроверки запишите оба деления и проверьте, совпадают ли результаты.

Считать 1,62 точным числом. Это округлённое значение золотого отношения, поэтому реальные измерения могут дать, например, 1,61 или 1,63. Кроме того, линейкой не всегда удаётся измерить предмет без погрешности. Сравнивайте результат как приближённый и не требуйте полного совпадения.

Считать красивой любую форму с золотыми пропорциями. Такое утверждение упрощает оценку: отношение сторон — лишь одна особенность фигуры. На зрительное впечатление могут влиять другие формы рядом, цвет и назначение предмета. Проверьте себя вопросом: можно ли оценить красоту, зная только две длины? Нет, поэтому золотые пропорции не дают гарантии привлекательности.

Связь с другими темами

Для работы с золотым сечением нужно уметь находить отношения чисел и делить отрезок на части. Знание прямоугольников, квадратов и их сторон помогает измерять фигуры и понимать, какая часть останется после удаления квадрата. Эти навыки пригодятся при изучении масштаба и пропорций: там тоже сравнивают величины и проверяют, сохраняется ли их соотношение. Кроме того, отношения помогают анализировать формы в рисунке и архитектуре.

Что запомнить

• Золотое сечение делит отрезок на неравные части.
• При золотом сечении целое относится к большей части так же, как большая часть к меньшей.
• Золотое отношение приблизительно равно 1,62.
• У золотого прямоугольника отношение большей стороны к меньшей близко к 1,62.
• После удаления квадрата от золотого прямоугольника остаётся прямоугольник с теми же пропорциями.
• Золотые пропорции могут быть одним из факторов привлекательности, но не определяют её единолично.