20.3. Бордюры

Определения и обозначения

Бордюр — бесконечная узкая полоса орнамента, построенная повторением одного рисунка вдоль прямой. Представь узор на ленте, который продолжается вправо и влево без конца. Это понятие помогает изучать рисунки, устроенные как кайма на одежде или рамка вокруг узора.

Период бордюра — наименьшее расстояние, на которое нужно сдвинуть орнамент вдоль полосы, чтобы он совпал сам с собой. Например, если узор совпадает при сдвиге на 6 см, но также совпадает при сдвиге на 3 см, его период равен 3 см. Период нужен, чтобы точно описать, через какое минимальное расстояние повторяются детали.

Параллельный перенос — перемещение всех точек рисунка на одинаковое расстояние в одном направлении. Фигура при этом не поворачивается и не переворачивается, а только меняет место. Повторяя фрагмент переносами на один и тот же шаг, можно построить длинную часть бордюра.

Ось симметрии бордюра — прямая, отражение относительно которой сохраняет весь орнамент. При таком отражении каждая деталь оказывается на месте своей зеркальной пары, а форма и размер не меняются. Понятие оси помогает понять, устроен ли узор одинаково по обе стороны от прямой.

Как это устроено

Чтобы получить бордюр из одного фрагмента, выбери направление вдоль полосы и расстояние, на которое будет повторяться рисунок. Затем передвинь фрагмент параллельным переносом, не меняя его форму и ориентацию, и повторяй действие в обе стороны. Повторение с одинаковым шагом нужно для того, чтобы между соседними копиями не возникало случайных промежутков или наложений. Если границы фрагмента состыкованы правильно, узор выглядит непрерывным.

Не всякий шаг повторения является периодом: периодом называют наименьший положительный сдвиг, который сохраняет весь узор. Например, рисунок может совпасть с собой после сдвига на 8 см, но если он уже совпадает после 4 см, именно 4 см — период. Это важно, потому что более крупный шаг показывает повторение, но не показывает самый короткий повторяющийся фрагмент. Проверяй не одну деталь, а всю полосу.

Бордюр может сохраняться при разных преобразованиях. Продольная ось проходит вдоль полосы, и отражение относительно неё меняет местами стороны узора; поперечная ось пересекает полосу поперёк и может менять местами соседние части. При повороте на 180° рисунок переворачивается вокруг точки, поэтому верх и низ, а также левая и правая стороны меняются местами. Скользящее отражение объединяет зеркальное отражение и перенос вдоль полосы.

Проверяя симметрию, мысленно выполни нужное преобразование и сравни полученную картину с исходной. Если проверяешь отражение, отметь, куда попадут детали по другую сторону оси; если поворот — представь, что узор перевернули вокруг точки. Совпасть должны все части орнамента, а не только один фрагмент. Именно поэтому проверяют весь рисунок, включая повторения по обе стороны от выбранного места.

Сравнить два бордюра можно по набору преобразований, которые сохраняют каждый из них. Один узор может иметь только повторение переносом, а другой — ещё и поперечные оси или поворот на 180°. Причина различий — в том, как расположены и ориентированы детали: зеркальные пары создают отражение, а повторяющиеся перевёрнутые пары могут дать поворот или скользящее отражение. Поэтому сочетание симметрий служит способом различать типы бордюров.

Симметрии бордюров

Сначала найди повторяющийся шаг, затем проверяй преобразования по очереди. Для каждого преобразования спроси себя, совпадёт ли с узором вся полоса, а не только выбранная часть. Таблица помогает не перепутать виды симметрии и систематически сравнить орнаменты.

Разбор задач

Задача 1. Дан фрагмент орнамента и указан одинаковый шаг повторения. Постройте из него часть бордюра. Пусть шаг равен длине фрагмента, а направление задано вправо и влево. Нужно сохранить не только форму, но и положение каждой детали внутри копии.

1. Отметь начальное положение фрагмента и направление полосы.
2. Перенеси фрагмент на заданное расстояние вправо, не поворачивая и не отражая его.
3. Повтори перенос ещё несколько раз, а затем построй копии влево от начального фрагмента.

Ответ: часть бордюра состоит из одинаковых копий фрагмента, размещённых через указанный шаг.

Задача 2. Определите, есть ли у изображённого бордюра ось симметрии, параллельная полосе. Такая прямая проходит вдоль орнамента, поэтому при отражении верхняя и нижняя части узора меняются местами. Проверь, сохраняются ли все детали, а не только одна пара.

1. Проведи или мысленно выбери прямую вдоль полосы, которая могла бы быть осью.
2. Представь отражение всего орнамента относительно этой прямой: каждой детали должна соответствовать зеркальная деталь на таком же расстоянии от оси.
3. Сравни полученный узор с исходным по всей длине и проверь, что повторяющиеся части тоже совпали.

Ответ: ось есть, если после отражения совпадает весь бордюр; если хотя бы одна деталь не совпадает, такой оси нет.

Задача 3. Сравните два орнамента и установите, какие симметрии сохраняют каждый из них. Удобно проверять преобразования в одном порядке, чтобы ничего не пропустить. Записывай результат для каждого орнамента отдельно, даже если узоры похожи.

1. Проверь повторение переносом и найди наименьший шаг, при котором узор совпадает сам с собой.
2. Проверь отражение относительно продольной и поперечной осей, а затем поворот на 180°.
3. Для скользящего отражения выполни отражение и сдвиг вдоль полосы; отметь, какие проверки дали совпадение у каждого узора.

Ответ: у каждого орнамента перечисляют только те преобразования, после которых совпала вся полоса. Различие в списках показывает, чем устроены узоры по-разному.

Типичные ошибки

Называть периодом любой шаг повторения — ошибка: например, при совпадении через 6 см может существовать более короткий шаг 3 см. Так делают, потому что замечают несколько одинаковых фрагментов, но не ищут наименьшее расстояние. Проверь меньшие положительные сдвиги: если они тоже сохраняют узор, выбранный шаг не минимален.

Считать, что для симметрии достаточно совпадения одного фрагмента, тоже неверно. Одна деталь может случайно совпасть после отражения или поворота, а соседние части орнамента — нет. Это происходит, когда проверяют только заметный элемент; сравни весь повторяющийся узор и его продолжение в обе стороны.

Продольную ось иногда путают с поперечной, потому что обе могут проходить через середину орнамента. Продольная идёт вдоль полосы, а поперечная пересекает её под прямым углом, поэтому отражение относительно них меняет расположение деталей по-разному. Перед проверкой отметь направление полосы и определи, параллельна ли ей ось.

При скользящем отражении нельзя выполнить только одно действие. Одно отражение может оставить копию между повторениями, а один перенос не перевернёт рисунок, поэтому узор не совпадёт. Выполни сначала отражение, затем сдвиг вдоль полосы и сравни всю полученную картину с исходной.

Связь с другими темами

Для изучения бордюров пригодятся знания о равных фигурах: при переносе размер и форма фрагмента не меняются. Также нужно уметь распознавать параллельный перенос, отражение и поворот, иначе трудно проверить, какое преобразование сохраняет орнамент. Эти геометрические действия помогают описывать симметрию рисунка, а не просто говорить, что он выглядит одинаково.

Бордюры связывают геометрию с узорами, рамками и орнаментами, которые встречаются вокруг нас. Зная переносы и отражения, можно не только определять симметрии готового рисунка, но и строить новые повторяющиеся узоры. Сочетание преобразований объясняет, почему орнаменты могут быть похожими, но устроенными по-разному.

Что запомнить

• Бордюр образуется повторением узора вдоль полосы.
• Перенос на период сохраняет весь бордюр.
• Период — наименьший положительный сдвиг, при котором орнамент совпадает сам с собой.
• У бордюра могут быть разные виды симметрии.
• Скользящее отражение сочетает отражение и перенос вдоль полосы.
• Тип бордюра определяют по сочетанию симметрий.