20.2. Последовательное применение параллельных переносов

Определения и обозначения

Параллельный перенос — преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается на одинаковое расстояние в одном и том же направлении. Фигура словно скользит по плоскости, не поворачиваясь и не растягиваясь. Это понятие нужно, чтобы описывать точное перемещение всей фигуры сразу.

Вектор переноса — вектор, задающий направление и длину перемещения каждой точки. Его можно обозначить, например, буквой a или стрелкой над двумя буквами. С помощью вектора легко понять, куда и на сколько клеток или сантиметров нужно сдвинуть каждую точку.

Последовательное применение параллельных переносов — выполнение одного переноса, а затем другого для полученной фигуры. Сначала каждая точка проходит путь по первому вектору, после чего продолжает движение по второму. Это позволяет рассматривать несколько сдвигов как одну общую задачу.

Сумма векторов — вектор, который задаёт общий результат двух перемещений. Его обозначают, например, так: c = a + b. Сумма нужна, чтобы заменить два последовательных переноса одним и сразу определить итоговое положение фигуры.

Как это устроено

При первом переносе каждая точка фигуры перемещается на один и тот же вектор. Поэтому любые два отрезка между точками получают одинаковый сдвиг у обоих концов, а расстояние между концами не меняется. По этой причине образ фигуры сохраняет её форму и размеры.

При втором переносе уже полученный образ снова сдвигается на одинаковый вектор. Исходная точка как будто проходит сначала путь a, а затем путь b, поэтому её конечное положение зависит от обоих перемещений. То же происходит со всеми точками, и каждая из них получает один общий итоговый сдвиг.

Два последовательных переноса можно заменить одним, потому что для каждой точки важен только начальный и конечный пункт пути. Переход от начальной точки к конечной описывается суммой векторов a + b. Значит, если построить перенос на эту сумму, все точки окажутся там же, где и после выполнения двух переносов.

Сумму векторов удобно строить правилом треугольника. Начало второго вектора совмещают с концом первого, чтобы второй отрезок продолжал движение, заданное первым. Результирующий вектор проводят от начала первого вектора к концу второго, поэтому он показывает весь общий путь.

Если векторы направлены противоположно, движение в одну сторону частично уничтожает движение в другую. Тогда из большей длины вычитают меньшую, а результат направляют в сторону большего вектора. При равных длинах перемещения полностью взаимно уничтожаются, и общий вектор становится нулевым.

Результат последовательного применения двух параллельных переносов

В таблице сначала найдите, что происходит на каждом отдельном шаге, а затем сравните это с общим результатом. Особенно полезно проверять последнюю строку: переносы должны сохранять форму и размеры фигуры. Направление и длину итогового движения определяют по сумме векторов.

Разбор задач

Задача 1

Точку сначала переместили на 3 клетки вправо, затем на 2 клетки вправо. Нужно определить общий перенос. Оба перемещения направлены одинаково, поэтому точка продолжает двигаться в одну сторону.

1. Запишем длины перемещений: 3 клетки и 2 клетки.
2. Сложим их, потому что направления совпадают: 3 + 2 = 5 клеток.
3. Сохраним общее направление — вправо.

Ответ: общий перенос — на 5 клеток вправо. Выполнить его можно сразу, без промежуточной остановки после первых 3 клеток.

Задача 2

Треугольник сначала перенесли на вектор a длиной 4 см вправо, затем на вектор b длиной 1 см влево. Направления противоположны, поэтому складывать длины напрямую нельзя. Сначала найдём общий вектор, а затем применим его к каждой вершине.

1. Сравним длины противоположных перемещений: 4 см больше 1 см.
2. Вычтем меньшую длину из большей: 4 − 1 = 3 см.
3. Направим общий вектор вправо, так как вправо был сделан более длинный перенос.
4. Из каждой вершины треугольника отложим по 3 см вправо и соединим новые вершины.

Ответ: общий вектор направлен вправо и имеет длину 3 см. Полученный треугольник совпадает с образом, который вышел бы после двух последовательных построений.

Задача 3

Четырёхугольник сначала перенесли на вектор a, затем на вектор b. Результат можно построить двумя способами: выполнить два сдвига по очереди или сразу использовать сумму a + b. Нужно убедиться, что оба способа приводят к одним и тем же вершинам.

1. Первым способом перенесём каждую вершину на a, а полученные точки — на b.
2. Вторым способом построим сумму a + b правилом треугольника.
3. Перенесём исходные вершины сразу на вектор a + b.
4. Сравним конечные точки и соединим их в том же порядке.

Ответ: полученные четырёхугольники совпадают. Для каждой вершины оба построения дают один и тот же конечный пункт, потому что общий путь равен сумме двух векторов.

Типичные ошибки

Ошибка — складывать только длины векторов и не учитывать направления. Так поступают, когда видят числа, но забывают, что движение вправо и движение влево взаимно уменьшают результат. Проверьте себя: если направления противоположны, сравните длины и вычтите меньшую из большей.

Ошибка — строить сумму так, что начала двух векторов совмещены. Такой рисунок показывает не правило треугольника, а другую схему, из-за чего конечная точка может оказаться неверной. Проверьте построение: начало второго вектора должно находиться в конце первого.

Ошибка — переносить разные точки фигуры на разные векторы. Это происходит, когда ученик строит каждую вершину отдельно без постоянного направления и длины. Проверьте себя: у всех точек должны быть равные и параллельные отрезки перемещения, направленные одинаково.

Ошибка — считать, что несколько переносов меняют форму или размеры фигуры. Такой вывод появляется, если сравнивают положение фигуры, а не расстояния между её точками. Проверьте соответствующие стороны и диагонали: их длины и взаимное расположение после переноса сохраняются.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь задавать и изображать вектор, определять его направление и длину. Эти навыки помогают описывать каждый отдельный сдвиг без лишних слов. По длине вектора можно узнать расстояние перемещения, а по стрелке — его направление.

Также нужно знать сложение векторов правилом треугольника и уметь выполнять параллельный перенос точки или фигуры. Новая тема соединяет оба умения в одной задаче. Сначала строится сумма векторов, а затем этот общий вектор применяется ко всем точкам фигуры.

Идея сложения переносов пригодится при изучении преобразований фигур и перемещений на координатной плоскости. На координатах последовательные изменения можно складывать по горизонтали и вертикали. Это позволяет быстрее находить конечное положение точки или фигуры.

Что запомнить

• При параллельном переносе все точки перемещаются на один и тот же вектор.
• Два последовательных параллельных переноса равносильны одному переносу.
• Вектор общего переноса равен сумме векторов отдельных переносов.
• При сложении векторов важно учитывать и длину, и направление.
• Равные противоположные векторы дают нулевое перемещение.
• Параллельный перенос сохраняет форму и размеры фигуры.