20.1. Склеивание фигур, связанных параллельным переносом

Определения и обозначения

Параллельный перенос — перемещение всех точек фигуры на одно и то же расстояние в одном направлении. Его задают стрелкой: она показывает направление, а её длина — расстояние переноса. Такое описание помогает точно представить, куда и насколько передвинется каждая часть фигуры.

Фигуры, связанные параллельным переносом, — это фигуры, одна из которых получена из другой таким перемещением. Они равны: у них одинаковые форма и размер. Это нужно помнить, чтобы находить совпадающие стороны и не измерять перенесённую фигуру заново.

Склеивание фигур — соединение фигур по совпадающим сторонам или их частям. После соединения внутренняя общая граница не считается частью внешней границы новой фигуры. Поэтому для периметра нужно рассматривать только контур, который остался снаружи.

Общая граница фигур — сторона или часть стороны, по которой фигуры соединяют. Она помогает определить место соединения и понять, какие стороны окажутся внутри результата. Длина общей границы важна для построения, но не прибавляется к внешнему периметру.

Как это устроено

При параллельном переносе каждая точка проходит одинаковое расстояние в одном направлении. Расстояния между точками при этом не меняются: если два места фигуры были разделены отрезком, после переноса его длина останется прежней. Поэтому сохраняются все стороны и углы, а фигура не растягивается и не поворачивается.

Перенесённую фигуру можно поставить рядом с исходной так, чтобы совпали их стороны или части сторон. Такое расположение возможно, потому что перенос сохраняет длины: сторона перенесённой фигуры имеет ту же длину, что соответствующая сторона исходной. Если длины совпали, нужно совместить стороны концами и проверить, что фигуры лежат по разные стороны от общей части.

После склеивания общая граница оказывается внутри полученной фигуры, а её внешняя граница складывается из оставшихся сторон. Представь, что две фигуры приклеили друг к другу по одной стороне: эта сторона закрыта соседней фигурой и больше не обходит результат снаружи. Поэтому при вычислении периметра её длину исключают, а все открытые стороны включают.

Если внутренние области фигур не перекрываются, площадь полученной фигуры равна сумме площадей двух частей. Это следует из того, что вся новая фигура состоит ровно из этих частей, и ни одна часть не посчитана дважды. Общую границу при сложении площадей не прибавляют: она имеет длину, а площадь измеряет размер поверхности.

При построении важно проверить, что совпадающие стороны действительно равны и расположены одна напротив другой. Равенства длин недостаточно, если стороны не совмещены: тогда между фигурами может остаться промежуток или они могут наложиться не так, как задумано. После соединения проверь, что внутренние области не пересекаются и что внешний контур можно обвести, не проходя по общей границе.

Что учитывать при склеивании фигур

Пользуйся таблицей по порядку: сначала проверь расположение и общую границу, затем определи внешний контур. Для площади отдельно выясни, перекрываются ли фигуры. Для периметра складывай длины только тех сторон, которые остались снаружи.

Разбор задач

Квадраты со стороной 3 см

К квадрату со стороной 3 см параллельным переносом приставили такой же квадрат по целой стороне. Нужно определить форму и периметр результата. Квадраты соединены по стороне длиной 3 см и расположены снаружи друг от друга.

1. Совпавшие стороны становятся внутренними, поэтому в контур результата не входят. У каждого квадрата остаются три внешние стороны.
2. На внешнем контуре получаются две стороны длиной 3 см и две стороны длиной 6 см: две пары коротких сторон составляют стороны прямоугольника. Значит, форма результата — прямоугольник со сторонами 3 см и 6 см.
3. Складываем длины его внешних сторон: 3 + 6 + 3 + 6 = 18 см. Проверка: общая сторона длиной 3 см не должна попасть в эту сумму.

Ответ: прямоугольник, периметр 18 см.

Два прямоугольных треугольника

Два равных прямоугольных треугольника склеили по равным катетам, равным 3 см и 4 см. Требуется определить возможную форму и периметр. Если соединить треугольники по катету длиной 3 см, их прямые углы окажутся у общей стороны, и снаружи получится прямоугольник.

1. Общая сторона длиной 3 см будет внутри. У каждого треугольника останутся внешние катет длиной 4 см и гипотенуза.
2. По теореме Пифагора гипотенуза равна 5 см: 3² + 4² = 25, а √25 = 5. Две гипотенузы станут противоположными сторонами прямоугольника, а оставшиеся катеты — его другими сторонами.
3. Внешние стороны имеют длины 4, 5, 4 и 5 см. Складываем: 4 + 5 + 4 + 5 = 18 см.

Ответ: можно получить прямоугольник со сторонами 4 см и 5 см; его периметр равен 18 см.

Площадь после переноса и склеивания

Фигуру площадью 18 см² перенесли параллельно и склеили с исходной по общей границе. Внутренние области не перекрываются. Нужно найти площадь результата и понять, зависит ли она от длины общей границы.

1. Перенос сохраняет размеры, поэтому площадь второй фигуры тоже равна 18 см².
2. Фигуры не перекрываются, значит, каждая часть площади учитывается один раз. Складываем: 18 + 18 = 36 см².
3. Длина общей границы не меняет площадь частей: она показывает, где фигуры соединены, но не добавляет и не убирает поверхность.

Ответ: 36 см²; ответ не изменится, если длина общей границы будет другой, при условии что площади фигур те же и их внутренние области не перекрываются.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что при параллельном переносе фигура меняет форму или размер. Так думают, представляя перенос как растягивание или поворот, хотя точки просто одинаково сдвигаются. Проверь себя: сравни соответствующие стороны и углы до и после перемещения — они должны совпасть.

Ошибка — включать общую сторону в периметр результата. Её могут посчитать по привычке, складывая периметры обеих фигур целиком, но после склеивания сторона находится внутри. Проведи пальцем по внешнему контуру: если сторона не лежит на нём, в периметр её не включают.

Ошибка — складывать площади, не проверив перекрытие внутренних областей. В таком случае общая часть попадёт в сумму два раза, поэтому результат окажется больше настоящей площади. Проверь расположение фигур; если они перекрываются, вычти площадь перекрытия или разбей результат на непересекающиеся части.

Ошибка — считать фигуры склеенными только потому, что они равны. Равенство означает одинаковые форму и размер, но не гарантирует, что стороны уже совпали. Перед вычислениями проверь, что нужные стороны совмещены и фигуры расположены по разные стороны от общей границы.

Связь с другими темами

Для работы со склеенными фигурами пригодятся умения распознавать равные фигуры и измерять отрезки. Равенство помогает найти стороны, которые можно совместить, а измерение — проверить их длины. Также нужно уметь находить периметр многоугольника, складывая длины его внешних сторон.

Эта тема пригодится при разбиении сложных фигур на простые части и вычислении их площади и периметра. Если известны площади частей и они не перекрываются, их можно сложить. Чтобы найти периметр составной фигуры, нужно сначала определить, какие стороны стали внутренними, а какие образуют внешний контур.

Что запомнить

• Параллельный перенос сохраняет форму и размеры фигуры.
• При склеивании фигуры соединяют по совпадающей стороне или её части.
• Общая граница после склеивания становится внутренней.
• Для периметра результата учитывают только внешнюю границу.
• Площади складывают, если внутренние области фигур не перекрываются.
• Перед вычислениями нужно проверить, как именно расположены фигуры.