§ 20. Применение параллельного переноса

Определения и обозначения

Параллельный перенос — преобразование, при котором все точки фигуры перемещаются на одинаковое расстояние в одном направлении. Фигура не поворачивается и не растягивается. Это понятие нужно, чтобы строить её образ в новом месте.

Направление переноса — направление, в котором перемещают каждую точку фигуры. Его можно задать словами, например «вправо» или «вверх», либо стрелкой. Общее направление помогает переместить всю фигуру согласованно.

Расстояние переноса — одинаковое расстояние, на которое перемещается каждая точка. Его измеряют линейкой и откладывают от каждой исходной точки. Благодаря одному и тому же расстоянию фигура сохраняет свои размеры.

Образ точки — точка, в которую переходит исходная точка при параллельном переносе. Образ точки A часто обозначают A′ и читают «А штрих». По образам характерных точек строят образ всей фигуры.

Как это устроено

Сначала выбирают направление и расстояние переноса, потому что без этих двух данных положение новой фигуры определить нельзя. Затем от каждой точки откладывают отрезок одинаковой длины и направляют его одинаково. Так получают образы точек, из которых можно собрать новую фигуру.

При переносе отрезка его концы движутся одинаково, поэтому расстояние между ними не меняется. Если один конец сдвинуть иначе, отрезок может изменить длину или наклон, и это уже не будет параллельным переносом. Поэтому достаточно перенести оба конца одним и тем же способом, а затем соединить их образы.

Расстояния между любыми двумя точками сохраняются, потому что обе точки получают одинаковое смещение. Из сохранения расстояний следует, что не меняются длины сторон, а значит, сохраняется и форма фигуры. Углы также остаются прежними, поскольку их стороны переходят в равные параллельные отрезки.

Перенос можно выполнить для отдельной точки, отрезка или многоугольника. У многоугольника достаточно построить образы вершин, ведь стороны определяются парами соседних вершин. Вершины соединяют в прежнем порядке, чтобы не нарушить взаимное расположение частей фигуры.

Иногда фигуру переносят не ради самого построения, а чтобы расположить её удобнее. Например, новый образ можно приблизить к другой фигуре или совместить отдельные элементы на чертеже. Равенство исходной фигуры и её образа позволяет переносить известные длины и углы в более удобное место задачи.

Что происходит с фигурами при параллельном переносе

Таблица помогает быстро определить, что изменится у объекта после переноса, а что останется прежним. При построении сначала используют правило для точек, а затем делают вывод о целом объекте. Например, по перенесённым концам отрезка сразу видно, что его образ будет равным и параллельным.

Разбор задач

Перенос точки

Условие: Точка A перенесена на 4 см вправо. Постройте её образ A′. Нужно понять, где окажется единственная точка после заданного смещения.

1. Проведём от точки A горизонтальное направление вправо.
2. Отложим на этом направлении 4 см, используя линейку.
3. Конец полученного отрезка обозначим A′, потому что это образ точки A.

Ответ: точка A′ находится справа от A на расстоянии 4 см. Проверка проста: отрезок AA′ должен иметь длину 4 см и заданное направление.

Перенос отрезка

Условие: Отрезок AB перенесён на 3 см вверх. Постройте его образ. Нельзя переносить только один конец, потому что тогда положение и длина нового отрезка не будут определены правильно.

1. Из точки A проведём направление вверх и отложим 3 см, получив A′.
2. Из точки B так же отложим 3 см вверх, получив B′.
3. Соединим точки A′ и B′ отрезком.

Ответ: A′B′ — образ отрезка AB. Он равен AB и параллелен ему, потому что оба конца перемещены одинаково.

Перенос четырёхугольника

Условие: Четырёхугольник ABCD перенесли на заданное расстояние в заданном направлении. Постройте образ и объясните, почему он равен исходному. Здесь нужно перенести все вершины, а не только одну или две.

1. Из каждой вершины A, B, C и D откладываем одинаковое расстояние в общем направлении и получаем A′, B′, C′ и D′.
2. Соединяем A′B′, B′C′, C′D′ и D′A′ в том же порядке.
3. Сравниваем соответствующие стороны и углы: одинаковое смещение сохраняет расстояния между точками и величины углов.

Ответ: A′B′C′D′ — образ четырёхугольника ABCD, равный ему. Его стороны и углы соответствуют исходным, хотя сам четырёхугольник расположен в другом месте.

Типичные ошибки

Точки перемещают на разные расстояния. Так происходит, когда ученик откладывает отрезки «на глаз» или пользуется линейкой невнимательно. Проверьте, равны ли все отрезки от исходных точек до их образов.

Точки переносят в разных направлениях. Иногда каждую точку двигают к ближайшему свободному месту, но это меняет фигуру. Проверьте, параллельны ли все отрезки переноса и направлены ли они в одну сторону.

Для отрезка переносят только один конец. По одной новой точке нельзя построить правильный образ всего отрезка. Перенесите оба конца и убедитесь, что образ каждого конца найден одинаковым способом.

Считают, что перенос меняет длины или углы. Это неверно: одинаковое смещение всех точек сохраняет расстояния между ними. Сравните соответствующие стороны и углы исходной фигуры и её образа.

Связь с другими темами

Для построения переноса нужны навыки проведения параллельных прямых, откладывания отрезка заданной длины и работы с линейкой. Эти действия позволяют точно задать направление и расстояние.

Параллельный перенос связан с равными фигурами: исходная фигура и её образ имеют одинаковые размеры и форму. Поэтому перенос помогает обосновывать равенство отрезков и углов.

Приём используют в построениях, задачах на равенство фигур и при дальнейшем изучении движений плоскости. Удобное перемещение фигуры часто упрощает чертёж и решение.

Что запомнить

• Все точки фигуры перемещаются на одинаковое расстояние.
• Все точки перемещаются в одном направлении.
• Перенос точки задаётся направлением и расстоянием.
• Длины отрезков и величины углов при переносе сохраняются.
• Образ фигуры равен исходной фигуре.
• Чтобы построить образ фигуры, достаточно перенести её вершины и соединить их в прежнем порядке.