19.4. Склеивание фигур, связанных преобразованием

Определения и обозначения

Преобразование фигуры — правило, по которому каждой точке фигуры ставится в соответствие её образ. Например, фигуру можно перенести, повернуть или отразить: она изменит положение, но не обязательно форму и размеры. Это понятие нужно, чтобы точно описывать, как одна фигура расположена относительно другой.

Равные фигуры — фигуры, которые можно совместить наложением. Если одна получена из другой преобразованием, сохраняющим расстояния между точками, то их стороны и углы соответствуют друг другу. Равенство помогает понять, какие части фигур можно совместить.

Склеивание фигур — объединение двух фигур по совпадающим сторонам или участкам границы. Их располагают так, чтобы выбранные части границ совпали, а внутренние области не перекрывались. Это понятие нужно, чтобы составлять из простых частей новую фигуру.

Общий контур — внешняя граница фигуры, полученной после склеивания. Он отличается от границ исходных частей: участки, по которым части соприкоснулись, оказываются внутри объединения. Поэтому общий контур состоит только из участков, оставшихся снаружи.

Как это устроено

Если фигура перемещается, поворачивается или отражается без растяжения и сжатия, расстояние между любой парой её точек не меняется. Поэтому длины отрезков и величины углов сохраняются, а форма и размеры остаются прежними. Образ такой фигуры можно совместить с исходной наложением, значит, эти фигуры равны. Это позволяет пользоваться одной частью как точной копией другой.

Чтобы склеить фигуры, сначала решают, какие стороны или части границы должны встретиться. Затем выбирают подходящее преобразование и располагают образ так, чтобы соответствующие концы выбранных отрезков тоже совпали. Простого поворота или переноса иногда недостаточно: может понадобиться отражение. Правильное положение выбирают не только по длинам границ, но и так, чтобы части не налезали друг на друга.

Когда две части соприкасаются по отрезку, этот отрезок отделяет их друг от друга, а не объединённую фигуру от внешнего пространства. Если смотреть на объединение снаружи, общую сторону не видно: по одну сторону от неё находится одна часть, по другую — вторая. Поэтому после склеивания общая граница становится внутренней и не включается во внешний контур. Внешнюю границу нужно проследить вокруг всей полученной фигуры.

Проверяя результат, сначала убедись, что выбранные участки границ действительно совпадают по длине и положению. Затем проверь, что внутренности частей не перекрываются: иначе они не просто соприкоснутся, а наложатся. Наконец пройди по краю объединения и отметь участки, которые остались снаружи. Такая проверка помогает не принять внутреннюю общую сторону за часть внешнего контура.

Склеивание позволяет составить новую фигуру из равных или других подходящих частей. Чтобы рассуждать о её форме, нужно проследить расположение частей и внешний край; чтобы найти периметр — сложить длины только внешних участков. Площадь объединения при соприкосновении по границе можно рассматривать как сумму площадей частей, потому что их внутренности не перекрываются. Но сначала важно убедиться, что фигуры действительно только соприкасаются, а не накладываются.

Что проверять при склеивании фигур преобразованием

Пользуйся таблицей по порядку: сначала изучи фигуры и преобразование, затем проверь совпадение границ и положение частей. В конце проследи внешний контур, не включая в него общие внутренние участки. Если на любом этапе есть сомнение, вернись к рисунку и проверь соответствующие точки и стороны.

Разбор задач

Два квадрата с общей стороной

Условие. Даны два равных квадрата. Расположи их так, чтобы они имели общую сторону, и определи, какую фигуру образует их объединение. Чтобы части действительно склеились, их нужно приставить друг к другу, а не положить один квадрат поверх другого.

1. Обозначим длину стороны квадрата через a. У обоих квадратов стороны равны a, потому что квадраты равны.
2. Поставим квадраты рядом так, чтобы одна сторона первого совпала со стороной второго. Их внутренние области тогда не пересекаются.
3. Проследим наружный край: получается прямоугольник со сторонами a и 2a. Общую сторону оставляем внутри и во внешний контур не включаем.

Ответ. Объединение — прямоугольник со сторонами a и 2a. Его внешний контур состоит из двух сторон длины a и двух сторон длины 2a. Если нужно найти периметр, получим 2a + 2 · 2a = 6a.

Треугольник и его отражение

Условие. Треугольник отражён относительно прямой, содержащей одну из его сторон. Нужно склеить треугольник с его образом по этой стороне и определить вид полученной фигуры. Здесь полезно сначала выяснить, куда при отражении переходят вершины.

1. Вершины, лежащие на оси отражения, остаются на месте. Поэтому выбранная сторона совпадает со своей копией.
2. Третья вершина переходит на другую сторону оси на такое же расстояние. Треугольники оказываются по разные стороны общей стороны, без наложения внутренних областей.
3. Объединим их и проследим внешний край. Если обозначить концы общей стороны A и B, а вершины треугольников C и C′, получится четырёхугольник A–C–B–C′.

Ответ. Получается четырёхугольник, у которого стороны AC и AC′ равны, как и BC и BC′. Без дополнительных сведений нельзя утверждать, что это квадрат или другой конкретный вид четырёхугольника. Общая сторона AB внутри и в контур не входит.

Фигура и её образ при повороте

Условие. Изобрази фигуру и её образ при повороте; подбери положение так, чтобы заданные участки границ совпали, и опиши контур объединения. Поскольку конкретные фигура и участки не заданы, решение опишет способ построения, который можно применить к рисунку.

1. Отметь центр поворота и угол, на который поворачивается фигура. При повороте каждая точка перемещается вокруг центра, сохраняя расстояние до него.
2. Сопоставь точки исходной фигуры и образа, затем проверь длины выбранных участков границ. Поворот сохраняет длины и углы, поэтому соответствующие отрезки равны.
3. Расположи фигуру и её образ так, чтобы выбранные участки совпали, а внутренности не перекрылись. Проследи внешний край и исключи совпавшие участки из контура.

Ответ. Объединение ограничено теми частями границ, которые остались снаружи после совмещения. Точную форму контура можно назвать только после того, как известны исходная фигура, угол поворота и совпадающие участки. Проверка длин и отсутствия наложения помогает убедиться, что склеивание выполнено верно.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что любые две равные фигуры автоматически склеиваются по сторонам. Равенство сообщает о форме и размерах, но не о положении: стороны могут смотреть в разные стороны и не совпадать. Эту ошибку легко допустить, если забыть о преобразовании; проверь, что выбранные границы действительно совмещены.

Ошибка: путать образ фигуры с отражением в любом положении. Отражение выполняют относительно определённой прямой, и соответствие точек зависит от этой оси. Если ось не задана, нельзя утверждать, что фигура получена именно таким отражением; укажи ось или обоснуй её выбор.

Ошибка: оставлять общую склеенную сторону частью внешнего контура. Она кажется частью границы, потому что была краем каждой исходной фигуры, но после объединения лежит между их внутренними областями. Чтобы проверить себя, обойди получившуюся фигуру снаружи: внутренний участок на этом пути не встречается.

Ошибка: допускать наложение внутренних областей и называть это склеиванием по границе. Наложившиеся части занимают одно и то же место, поэтому фигуры уже не просто соприкасаются. Сравни положение внутренних областей и убедись, что общими являются только выбранные участки границ.

Связь с другими темами

Для склеивания нужно распознавать равные фигуры, сравнивать длины отрезков и величины углов. Также пригодятся знания о симметрии, повороте и переносе: они помогают понять, какие точки и отрезки соответствуют друг другу. Склеивание связывает геометрию преобразований с составлением сложных фигур из простых. Оно помогает рассуждать об их форме, периметре и площади.

Что запомнить

• Преобразование, сохраняющее расстояния, переводит фигуру в равную ей фигуру.
• Для склеивания нужно правильно расположить фигуры относительно друг друга.
• Склеиваемые участки границ должны совпасть.
• Общая граница после склеивания становится внутренней.
• Внешний контур объединения составляют только участки, оставшиеся снаружи.
• Перед выводом о форме результата проверь, что внутренние части фигур не перекрываются.