"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю.
Склеивание фигур — это соединение двух или нескольких фигур по совпадающим участкам границ. После соединения получается новая, составная фигура, и для неё можно найти площадь и периметр. Если фигуры не накладываются, их площади складываются. А периметр обычно не равен сумме прежних периметров: склеенные участки становятся внутренними и исчезают из внешней границы. Чтобы не ошибиться, нужно определить, какие стороны остались снаружи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Склеивание фигур — соединение фигур по совпадающим участкам их границ. После соединения рассматривают новую, получившуюся фигуру, а не две отдельные. Это понятие помогает понять, какие части фигур стали общими и как изменились площадь и периметр.
Общий участок границы — часть границ обеих фигур, по которой их соединяют. Он может быть целой стороной или только её частью; длину общего участка обозначают буквой l. Это обозначение позволяет точно учитывать, какой отрезок исчезает из внешнего контура.
Внешняя граница полученной фигуры — линия, которая остаётся видимой снаружи после склеивания. Участки, оказавшиеся внутри, к ней не относятся. Чтобы найти периметр, нужно проследить именно эту границу и сложить длины её частей.
Периметр полученной фигуры — длина её внешней границы. Он не обязательно равен сумме периметров исходных фигур, потому что общий участок после склеивания становится внутренним. Это определение помогает не включать в ответ лишние стороны.
Если фигуры соединяют без наложения, площадь получившейся фигуры равна сумме площадей исходных. Причина в том, что каждый участок площади остаётся на своём месте и не перекрывается другим. Поэтому для двух фигур можно записать: S = S₁ + S₂. Если фигуры частично наложить, часть площади будет посчитана дважды, и обычное сложение уже не даст верного результата.
После склеивания общий участок оказывается внутри новой фигуры. Он не исчезает физически, но перестаёт быть внешним краем, потому что с обеих сторон от него находятся части составной фигуры. Периметр измеряет только длину контура снаружи. Поэтому внутреннюю линию нельзя включать в периметр, даже если до соединения она была границей каждой фигуры.
Пусть две фигуры склеили по отрезку длины l. До соединения этот отрезок входит в периметр первой фигуры и в периметр второй. После соединения оба его учёта нужно убрать, поэтому новый периметр равен сумме исходных периметров минус 2l: P = P₁ + P₂ − 2l. Вычесть l только один раз недостаточно, ведь общий отрезок был посчитан дважды.
Для сложного контура удобно сначала выписать или отметить все стороны исходных фигур. Затем нужно найти те стороны или их части, которые стали общими, и отделить их от внешних. Складывать следует только длины оставшихся снаружи участков. Такой способ особенно полезен, когда фигура состоит из нескольких прямоугольников или квадратов и её контур трудно сразу увидеть.
Если фигуры соприкасаются только в одной точке, общей стороны у них нет. Точка имеет нулевую длину, поэтому никакой отрезок границы не становится внутренним и длина внешнего контура не сокращается. Это отличается от соединения по стороне или части стороны. Поэтому перед вычислениями нужно проверить, есть ли общий участок положительной длины.
| Что рассматриваем | До склеивания | После склеивания по общему отрезку длины l |
|---|---|---|
| Площадь | Сумма площадей фигур | Сумма площадей, если фигуры не накладываются |
| Периметр | Сумма периметров фигур | Сумма периметров минус 2l |
| Общий участок | Входит в границу каждой фигуры | Не входит во внешнюю границу |
В таблице сравниваются фигуры до соединения и новая фигура после него. Для площади сначала проверь, что фигуры не накладываются, а для периметра найди длину общего участка. Если общих участков несколько, каждый из них нужно учесть при вычислении.
Сначала найдём периметры квадратов, а затем определим, какая часть контура стала внутренней. Каждый квадрат имеет четыре равные стороны, значит его периметр равен 4 · 3 = 12 см. Общая сторона длиной 3 см учтена в обоих периметрах, поэтому её нужно убрать два раза.
Ответ: 18 см. Получившаяся фигура — прямоугольник размером 6 см на 3 см, и его периметр тоже равен 18 см. Проверка другим способом подтверждает вычисление.
Для площади достаточно сложить площади прямоугольников, поскольку наложения нет. Для периметра сначала найдём длину границы каждого прямоугольника и сложим её. Общая сторона длиной 2 см стала внутренней, поэтому из суммы периметров нужно вычесть её удвоенную длину.
Ответ: площадь равна 14 см², периметр — 18 см. Можно проверить периметр: если прямоугольники соединены вдоль стороны 2 см, получится прямоугольник 7 × 2 см, у которого периметр 18 см.
У четырёх квадратов вместе было бы 4 · 4 = 16 сторон длиной 1 см, если считать периметры отдельно. Но три стороны стали общими: по одной между соседними квадратами в ряду и ещё одна между средним квадратом и верхним. Каждая общая сторона посчитана дважды, поэтому за каждую нужно убрать 2 см из суммы.
Ответ: 10 см. Проверить результат можно, обведя внешний контур фигуры и посчитав десять единичных отрезков. Внутренние общие стороны в этот контур не входят.
Оставляют сумму периметров без изменений. Так происходит, когда общий отрезок продолжают считать частью внешнего края. Проверь себя: обведи получившуюся фигуру снаружи — склеенная сторона окажется внутри и не попадёт в обход контура.
Вычитают длину общего участка только один раз. Ошибка возникает, если забыть, что до склеивания этот отрезок входил в периметр обеих фигур. Для проверки отдельно отметь его в каждом исходном периметре: должны исчезнуть два одинаковых слагаемых длиной l.
Считают, что площадь при склеивании всегда уменьшается. Это путают с изменением периметра: общая сторона перестаёт быть внешней, но площадь частей без наложения сохраняется. Проверь, перекрывают ли фигуры друг друга; если нет, сложи их площади и сравни с площадью всей составной фигуры.
Путают касание в точке со склеиванием по стороне. Кажется, что любое соприкосновение должно убрать часть границы, но одна точка не имеет длины. Проверь наличие общего отрезка: если фигуры встретились только в точке, вычитать из суммы периметров нечего.
Для работы с периметром нужно уметь находить периметр многоугольника и складывать длины его сторон. Чтобы вычислять площадь составной фигуры, пригодятся формулы площади квадрата и прямоугольника. Приём склеивания помогает решать задачи о составных фигурах, а также задачи, где фигуру разрезают на части и находят площадь или периметр сложного контура. В таких задачах важно понять, какие части стали внутренними, а какие остались снаружи.
Почему при склеивании по стороне из суммы периметров вычитают удвоенную длину этой стороны?
Общая сторона сначала входит в периметр каждой из двух фигур. После склеивания она оказывается внутри, поэтому её нужно убрать дважды: по одному разу из каждого периметра.
Изменяется ли площадь фигур при склеивании?
Если фигуры соединяют без наложения, площадь новой фигуры равна сумме их площадей. Наложение означает, что часть площади учитывается дважды, поэтому в таком случае простое сложение не подходит.
Что считать общей стороной, если фигуры склеены только частью стороны?
Общим участком считают именно ту часть границы, по которой фигуры соприкасаются. Если её длина равна l, из суммы периметров вычитают 2l.
Как найти периметр фигуры, составленной из нескольких квадратов?
Сначала сложи периметры всех квадратов, а затем исключи общие стороны: каждая такая сторона учтена дважды. Можно также обвести фигуру и сложить только длины сторон, оставшихся снаружи.
Что происходит с периметром, если фигуры соприкасаются только в одной точке?
При соприкосновении в одной точке участок границы не исчезает, потому что общей стороны или отрезка нет. Длина внешней границы не сокращается, и периметры можно сложить.
19.3. Склеивание фигур
