19.2. Объединение фигур

Определения и обозначения

Объединение фигур — фигура, состоящая из всех точек, принадлежащих хотя бы одной из данных фигур. Слово «хотя бы» означает, что точка может быть в первой фигуре, во второй или сразу в обеих. Это определение помогает собрать в одну фигуру несколько областей, не теряя ни одной их точки.

Точка принадлежит объединению, если она находится в первой фигуре, во второй фигуре или в обеих сразу. Например, точка внутри общей части подходит, потому что она принадлежит каждой из фигур. Это правило нужно, чтобы решить, включать ли конкретную точку в получившуюся фигуру.

Объединение двух фигур A и B обозначают A ∪ B и читают: «объединение A и B». Знак ∪ напоминает, что фигуры собирают вместе, а не оставляют только их общую часть. По обозначению можно сразу понять, какие исходные фигуры рассматриваются.

Чтобы изобразить объединение, совмещают изображения фигур и закрашивают все области, занятые хотя бы одной из них. Закрашенной должна быть и часть, где фигуры накладываются друг на друга. Такое изображение помогает увидеть результат и проверить, не пропущена ли какая-нибудь часть исходных фигур.

Как это устроено

В объединение включают каждую точку, которая принадлежит хотя бы одной исходной фигуре, потому что именно так фигуры собираются в целое. Если оставить точку за пределами результата, хотя она находится в одной из фигур, часть исходной фигуры потеряется. А включение точки, не принадлежащей ни одной фигуре, добавило бы лишнюю область.

Чтобы построить объединение двух фигур, сначала отмечают на чертеже обе исходные фигуры, а затем включают все области каждой из них. Это нужно делать не только вдоль границ: внутренние точки тоже принадлежат фигуре. Поэтому результат обычно закрашивают целиком, а не обводят только внешний контур.

Если фигуры не имеют общих точек, они остаются раздельными и в объединении. Причина в том, что между ними нет точек, которые могли бы соединить одну область с другой. Поэтому объединение может состоять из двух или нескольких отдельных частей, и это всё равно одна фигура в смысле определения.

Когда фигуры пересекаются, точки их общей части принадлежат обеим фигурам. При объединении их включают один раз как часть общей области: повторно закрашивать или считать их отдельной фигурой не нужно. Так все области исходных фигур оказываются внутри результата, а лишнего участка не появляется.

Если одна фигура целиком находится внутри другой, объединение не становится больше внешней фигуры. Каждая точка внутренней фигуры уже принадлежит внешней, поэтому она не добавляет новых точек к результату. Именно поэтому объединение в таком случае совпадает с большей фигурой.

Как строится объединение фигур

Сначала найди на чертеже все исходные фигуры, затем определи, соприкасаются ли они и есть ли между ними общие точки. После этого включи в результат каждую точку хотя бы одной фигуры и проверь, что не закрасил область за их пределами.

Разбор задач

Два непересекающихся отрезка

Условие. Изобразить объединение двух непересекающихся отрезков AB и CD. Отрезки не имеют общих точек, то есть ни один их конец не лежит на другом отрезке. Нужно указать, из каких частей состоит результат.

1. Отметь на чертеже отрезок AB и отдельно от него — отрезок CD.
2. Включи в результат все точки первого отрезка и все точки второго. Между отрезками ничего добавлять не нужно, потому что это были бы точки, не принадлежащие исходным фигурам.
3. Закрась оба отрезка, сохранив промежуток между ними незакрашенным.

Ответ. Объединение — это два отрезка AB и CD вместе. Оно состоит из двух отдельных частей, поскольку отрезки не имеют общих точек.

Два пересекающихся прямоугольника

Условие. Даны два прямоугольника, которые пересекаются. Требуется выделить их объединение и описать получившуюся фигуру. На чертеже общая часть — область, принадлежащая обоим прямоугольникам.

1. Найди границы обоих прямоугольников и отметь место, где они накладываются.
2. Включи все точки первого прямоугольника и все точки второго. Общую область не исключай: каждая её точка принадлежит обеим фигурам и потому подходит для объединения.
3. Закрась оба прямоугольника целиком. Не оставляй незакрашенной середину пересечения и не считай её отдельным добавочным участком.

Ответ. Объединение содержит всю площадь обоих прямоугольников, в том числе их общую часть. Получившаяся фигура — одна связанная область, поскольку прямоугольники пересекаются.

Круг и прямоугольник

Условие. Даны круг и прямоугольник, причём часть круга расположена внутри прямоугольника. Нужно найти их объединение и определить, принадлежит ли ему указанная точка. В условии не сказано, где именно находится точка, поэтому проверим оба возможных случая.

1. Отметь круг и прямоугольник, затем мысленно объедини их области. Точки круга внутри прямоугольника уже находятся в общей части, но всё равно входят в результат.
2. Для указанной точки проверь принадлежность каждой исходной фигуре. Если она находится в круге или прямоугольнике (либо в обоих), она входит в объединение.
3. Если точка лежит вне круга и вне прямоугольника, она не входит в результат. Сравни её положение с обеими фигурами, а не только с их общей частью.

Ответ. Объединение состоит из всех точек круга и прямоугольника. Указанная точка принадлежит ему тогда и только тогда, когда находится хотя бы в одной из этих фигур.

Типичные ошибки

• Закрашивают только общую часть, принимая её за объединение. Так происходит, когда объединение путают с частью, общей для двух фигур. Проверь себя: область, принадлежащая только одной фигуре, тоже должна войти в объединение.

• Исключают точки, принадлежащие обеим фигурам. Иногда думают, что общую часть нужно убрать, чтобы не учитывать её дважды. Проверь правило «хотя бы одной»: общие точки ему соответствуют и остаются внутри результата.

• Оставляют только внешнюю границу фигур и не включают внутренние точки. Это случается, если фигуру принимают за одну линию контура. Проверь себя: если точка находится внутри исходной фигуры, она тоже принадлежит ей и должна входить в объединение.

• Соединяют непересекающиеся фигуры сплошной закрашенной полосой. Так могут поступить, желая изобразить объединение как одну непрерывную область. Проверь, есть ли на самом деле точки между фигурами: если их нет в исходных фигурах, добавлять их нельзя.

Связь с другими темами

Для работы с объединением нужно знать, что такое геометрическая фигура и точка, а также уметь определять, принадлежит ли точка фигуре. На координатной плоскости принадлежность объединению можно описать условием: точка находится хотя бы в одной из заданных областей. Позже это понятие поможет отличать объединение от пересечения фигур, находить площади составных фигур и описывать области на чертежах.

Что запомнить

• Объединение содержит все точки, принадлежащие хотя бы одной исходной фигуре.
• Общая часть двух фигур входит в их объединение.
• Объединение изображают, включая целиком обе исходные фигуры.
• Объединение непересекающихся фигур может состоять из нескольких частей.
• Если одна фигура находится внутри другой, их объединение совпадает с большей фигурой.
• При проверке точки достаточно установить, принадлежит ли она хотя бы одной из данных фигур.