19.1. Пересечение фигур

Определения и обозначения

Пересечение фигур — фигура, состоящая из всех точек, которые принадлежат одновременно данным фигурам. Например, если две линии проходят через одну точку, эта точка входит в их пересечение. Понятие нужно, чтобы точно назвать общую часть, а не описывать фигуры целиком.

Общие точки — точки, принадлежащие каждой из рассматриваемых фигур. Если точка лежит на одном отрезке, но не лежит на другом, она не является общей для этих отрезков. Поиск общих точек помогает решить, есть ли пересечение и из чего оно состоит.

Знак пересечения ∩ — обозначение общей части фигур; например, A ∩ B означает пересечение фигур A и B. Запись читают «A пересечение B». Она нужна, чтобы кратко записать результат: это может быть точка, отрезок или другая фигура.

Пересекающиеся фигуры — фигуры, имеющие хотя бы одну общую точку. Общая точка может быть единственной или входить в более крупную общую часть. Это определение позволяет отличить пересекающиеся фигуры от тех, которые лишь находятся рядом.

Как это устроено

Чтобы найти пересечение двух фигур, нужно выделить точки, принадлежащие одновременно обеим. Удобно по очереди проверить точки одной фигуры: лежит ли каждая из них также на второй. В ответ попадут только те точки, для которых оба условия выполняются; точки, принадлежащие лишь одной фигуре, нужно отбросить.

Пересечение само является фигурой, потому что оно представляет собой набор точек на плоскости, а такой набор и рассматривают как геометрическую фигуру. Вид общей части зависит от формы и расположения исходных фигур. Две линии могут иметь общую точку, совпадающие участки отрезков дают общий отрезок, а у плоских фигур общая часть иногда занимает целую область.

У двух фигур пересечение не обязано быть одной точкой: несколько общих точек могут находиться отдельно друг от друга. Например, прямая, проходящая через окружность, обычно имеет с ней две общие точки. Поэтому нужно описывать все общие точки, а не останавливаться на первой найденной.

Пересечение отличается от случайного расположения фигур тем, что учитывает не близость, а принадлежность. Если две фигуры нарисованы рядом, но ни одна их точка не лежит одновременно на обеих, общей части нет. Даже если контуры на рисунке кажутся соприкасающимися, следует проверить, действительно ли точка касания принадлежит обеим фигурам.

На чертеже сначала определяют, какие точки относятся к первой фигуре, затем проверяют те же точки относительно второй. Для отрезков проверяют их концы и общую часть линий, а для прямой и окружности — места, где прямая проходит через окружность или касается её. Так можно не включить в пересечение участки, которые принадлежат только одной фигуре.

Если общих точек нет, фигуры не пересекаются, а их пересечение называют пустым. Это записывают, например, так: A ∩ B = ∅, где ∅ означает отсутствие точек. На чертеже фигуры изображают отдельно, оставляя между ними промежуток; важно, чтобы никакая точка не принадлежала обеим сразу.

Виды пересечения фигур

Таблица показывает, какими могут быть общие части фигур; один и тот же вид пары иногда даёт разные результаты в зависимости от расположения. Для ответа проверь, какие точки входят сразу в обе фигуры, и назови именно их множество. Если таких точек нет, пересечение пустое.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке отрезки AB и CD имеют общий участок MN. Указать пересечение и записать его обозначение. Не следует записывать весь отрезок AB или CD: в ответ войдут только точки, лежащие на обоих отрезках.

1. Сначала рассматриваем точки отрезка AB и отмечаем те, которые одновременно лежат на CD.
2. По условию такими точками являются все точки участка MN, включая его концы M и N.
3. Записываем общую часть с помощью знака пересечения: AB ∩ CD = MN.

Ответ: AB ∩ CD = MN.

Задача 2. Определить число общих точек прямой и окружности в трёх случаях: прямая проходит через окружность, касается её или лежит вне неё. Число зависит от того, сколько раз прямая встречает окружность, а не от длины нарисованного участка прямой.

1. Если прямая проходит через окружность, она входит в неё и выходит из неё, поэтому на границе возникают две точки пересечения.
2. Если прямая касается окружности, она встречает её в единственной точке касания.
3. Если прямая проходит вне окружности и не касается её, общих точек нет.

Ответ: в этих случаях соответственно две, одна и ноль общих точек.

Задача 3. Два прямоугольника частично накладываются друг на друга. Нужно определить и изобразить их пересечение, а затем описать его. Здесь общая часть может занимать площадь, поэтому одного перечисления точек обычно недостаточно.

1. Отмечаем ту часть первого прямоугольника, которая одновременно находится внутри второго.
2. Проверяем границу отмеченной части: точки границы тоже входят в оба прямоугольника, если фигуры включают свои стороны.
3. Заштриховываем только общую область и не захватываем части, принадлежащие лишь одному прямоугольнику.

Ответ: пересечение — общая область прямоугольников, включая её границу. Если на конкретном чертеже прямоугольники касаются только стороной или точкой, пересечением будет соответственно общий отрезок или общая точка.

Типичные ошибки

• Считать пересечением всю область, где фигуры расположены рядом. Так происходит, когда взглядом объединяют близкие части, не проверяя общие точки. Проверь каждую отмеченную часть: она должна принадлежать обеим фигурам одновременно.

• Путать пересечение с объединением и включать части, принадлежащие только одной фигуре. Эти понятия похожи названием, но пересечение оставляет только общее, а объединение собирает части обеих фигур. Для проверки задай вопрос: «Эта точка принадлежит каждой фигуре?»

• Не включать концы отрезков или границу фигуры в общую часть. Концы и границы часто пропускают, хотя они входят в фигуры, если это следует из условия. Проверь также граничные точки: если они принадлежат обеим фигурам, их нужно включить.

• Утверждать, что фигуры пересекаются, только потому, что их изображения накладываются на рисунке. Чертёж может быть неточным, а близость линий ещё не доказывает принадлежность одной точки обеим фигурам. Найди предполагаемую общую точку и проверь отдельно, лежит ли она на каждой фигуре.

Связь с другими темами

Для работы с пересечением нужно знать, что такое точка, прямая, отрезок, луч и окружность, а также понимать, принадлежит ли точка фигуре. Эти понятия позволяют читать чертёж и проверять общие точки. Пересечение пригодится при геометрических построениях, изучении расположения фигур на плоскости и решении задач по чертежам.

Идея общей части подготавливает к изучению объединения и других операций с множествами. Множество — это набор объектов, а в геометрии такими объектами могут быть точки. Сравнивая пересечение и объединение, легче понять, какие элементы общие, а какие входят хотя бы в один набор.

Что запомнить

• Пересечение состоит только из общих точек фигур.
• Пересечение обозначают знаком ∩.
• Пересечение двух фигур может быть точкой, несколькими точками, отрезком или областью.
• Если общих точек нет, фигуры не пересекаются.
• При поиске пересечения нужно проверять принадлежность точки обеим фигурам.
• Пересечение не включает части, принадлежащие только одной фигуре.