"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю.
Движение плоскости — преобразование, при котором расстояния между точками не меняются. Поэтому фигура и её образ имеют одинаковую форму и размеры. В параграфе разбираются осевая и центральная симметрия, построение образов точек и многоугольников, а также перенос фигуры. Эти приёмы помогают получать новые фигуры из исходных, сохраняя длины сторон и величины углов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Движение — преобразование плоскости, при котором расстояние между любыми двумя точками не изменяется. Поэтому фигура и её образ равны: соответствующие стороны имеют одинаковые длины, а форма не меняется. Движение нужно, чтобы переносить или преобразовывать фигуры без изменения их размеров.
Образ точки — точка, в которую переходит исходная точка при движении. Например, если исходная точка обозначена A, её образ записывают A′ и читают как A штрих. Такое обозначение помогает различать начальную фигуру и полученную после преобразования.
Осевая симметрия — движение относительно прямой, называемой осью симметрии. Ось служит серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему любую точку с её образом. Это правило позволяет точно построить отражённую точку.
Центральная симметрия — движение относительно точки, называемой центром симметрии. Центр является серединой отрезка между исходной точкой и её образом. Поэтому образ можно найти, продолжив прямую через точку и центр на такое же расстояние.
Чтобы построить образ фигуры при движении, сначала преобразуют её точки, а затем соединяют полученные образы в том же порядке. Для многоугольника достаточно работать с вершинами: стороны сами появятся после соединения соответствующих точек. Такой порядок сохраняет взаимное расположение частей фигуры.
Форма и размеры сохраняются потому, что движение не меняет расстояния между точками. Длина стороны — это расстояние между её концами, значит, каждая сторона получает равную ей сторону. Угол также сохраняется, поскольку его стороны и расстояния между их точками не искажаются.
При осевой симметрии для каждой точки проводят перпендикуляр к оси. На другой стороне оси откладывают по этому перпендикуляру такое же расстояние, как от исходной точки до оси. Равные расстояния нужны для того, чтобы ось оказалась серединой отрезка между точкой и её образом.
При центральной симметрии через центр и исходную точку проводят одну прямую. Затем за центром откладывают отрезок той же длины, что и от точки до центра. Так центр оказывается серединой нового отрезка, а найденная точка становится образом исходной.
Движения помогают получать новые фигуры, потому что исходную фигуру или её части можно перемещать и располагать по-новому. При этом каждая часть сохраняет форму и размеры. Соединив образы нужным способом, можно составить новую фигуру из равных исходных частей.
| Движение | Что задаёт преобразование | Как построить образ точки | Что сохраняется |
|---|---|---|---|
| Осевая симметрия | Прямая — ось симметрии | Провести перпендикуляр к оси и отложить за осью равное расстояние | Расстояния, длины, углы и форма |
| Центральная симметрия | Точка — центр симметрии | Провести прямую через точку и центр, за центром отложить равный отрезок | Расстояния, длины, углы и форма |
| Перенос фигуры | Направление и расстояние переноса | Переместить точку в заданном направлении на заданное расстояние | Расстояния, длины, углы и форма |
Сначала определите, чем задаётся движение: прямой, точкой или направлением с расстоянием. Затем постройте образ одной точки по соответствующему правилу и повторите построение для остальных точек. Для многоугольника соединяйте образы вершин в исходном порядке.
Последний столбец помогает проверить результат: если длины или углы изменились, построение выполнено неверно. При любом движении полученная фигура равна исходной.
Условие. Постройте образ треугольника относительно данной прямой. Нужно отразить не только одну вершину, а весь треугольник.
Ответ. Получен треугольник, симметричный исходному относительно данной прямой. Его соответствующие стороны равны сторонам исходного треугольника.
Условие. Постройте фигуру, центрально-симметричную данному четырёхугольнику относительно заданной точки O. Центр должен делить каждый отрезок между соответствующими вершинами пополам.
Ответ. Построен четырёхугольник, центрально-симметричный данному. Точка O является серединой отрезков AA′, BB′, CC′ и DD′.
Условие. Из двух равных треугольников, полученных движением одного треугольника, составьте новую фигуру и обоснуйте равенство соответствующих сторон. Движение может переместить второй треугольник в нужное положение.
Ответ. Новая фигура составлена из двух равных треугольников. Равенство соответствующих сторон объясняется свойством движения, а не измерением на глаз.
При осевой симметрии иногда откладывают расстояние до оси по наклонной линии. Так образ окажется не на перпендикуляре, и ось не будет серединным перпендикуляром. Проверьте, что отрезок до образа перпендикулярен оси, а расстояния по обе стороны равны.
При центральной симметрии за центр принимают конец отрезка или произвольную точку на нём. Такая точка не гарантирует правильного положения образа. Соедините исходную точку с образом и убедитесь, что центр находится ровно посередине.
Образы вершин иногда соединяют в случайном порядке. Тогда стороны пересекаются или получается другая фигура, хотя сами точки построены правильно. Сохраняйте порядок вершин: после A идёт образ B, затем образ C и так далее.
Некоторые считают, что движение может растянуть или сжать фигуру. Причина ошибки — путаница между движением и произвольным изменением изображения. Сравните несколько пар расстояний: при правильном движении каждое из них осталось прежним.
Для построений нужны умения проводить перпендикуляр, откладывать равные отрезки и находить середину отрезка. Без них трудно точно построить образ точки при осевой или центральной симметрии.
Тема опирается на представления о равных фигурах, отрезках и углах. Движение объясняет, почему равенство фигур можно устанавливать не только сравнением на глаз, но и сохранением расстояний.
Движения пригодятся при изучении симметрии и других преобразований фигур. Они также используются при создании орнаментов, узоров и составных фигур из одинаковых частей.
Что называют движением на плоскости?
Движением называют преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками. Точки переходят в свои образы, а фигура — в равную ей фигуру.
Почему фигура и её образ при движении равны?
При движении расстояние между каждой парой точек остаётся прежним. Поэтому сохраняются длины сторон, а вместе с ними форма и величины углов фигуры.
Как построить точку, симметричную данной относительно прямой?
Из данной точки проводят перпендикуляр к оси симметрии. На другой стороне оси откладывают такой же отрезок, и его конец будет симметричной точкой.
Как проверить, что две точки симметричны относительно центра?
Нужно соединить точки отрезком. Если заданная точка является серединой этого отрезка, то точки симметричны относительно неё.
Как построить образ многоугольника при движении?
Сначала строят образы всех вершин многоугольника. Затем соединяют полученные точки в том же порядке, что и исходные вершины.
§19. Использование движений для получения новых фигур
