§ 18. Симметрия фигур относительно плоскости

Определения и обозначения

Симметрия фигуры относительно плоскости — преобразование, при котором каждой точке фигуры соответствует точка по другую сторону плоскости на таком же расстоянии от неё. Плоскость обычно обозначают греческой буквой, например α. Это понятие описывает пространственное отражение, похожее на отражение предмета в зеркале.

Плоскость симметрии фигуры — плоскость, относительно которой фигура переходит сама в себя. После отражения все её точки занимают такие положения, что получившаяся фигура совпадает с исходной. С помощью этого понятия находят скрытое «зеркало» у куба, пирамиды и других тел.

Симметричные точки — точки, лежащие на одном перпендикуляре к плоскости по разные стороны от неё и равноудалённые от плоскости. Если точки A и A₁ симметричны относительно плоскости α, то расстояния от них до α равны. Такое описание позволяет точно построить пару симметричных точек.

Симметричные фигуры — фигуры, точки одной из которых попарно соответствуют точкам другой при симметрии относительно плоскости. Каждой точке первой фигуры соответствует ровно одна точка второй. Это помогает сравнивать фигуры и проверять, являются ли они зеркальными копиями.

Как это устроено

Чтобы построить точку, симметричную данной относительно плоскости, сначала проводят из данной точки перпендикуляр к плоскости. Перпендикуляр выбирают потому, что расстояние от точки до плоскости измеряют именно по перпендикуляру, а не по наклонной линии. Затем за плоскостью откладывают такую же длину: так новая точка оказывается на одинаковом расстоянии от плоскости.

Точка, лежащая в плоскости симметрии, при преобразовании остаётся на месте. Действительно, расстояние от неё до плоскости равно нулю, поэтому точка не может переместиться на другую сторону на ненулевое расстояние. Все точки самой плоскости являются неподвижными при таком отражении.

Симметрия сохраняет расстояния и форму, потому что отражение меняет положение фигуры, но не растягивает и не сжимает её. Если соединить две точки фигуры отрезком, то после отражения его концы перейдут в соответствующие точки, а длина нового отрезка будет такой же. Поэтому соответствующие отрезки равны, а симметричные фигуры совпадают при наложении.

Чтобы проверить симметрию всей фигуры, недостаточно рассмотреть только одну её часть или несколько удобных точек. Нужно убедиться, что отражение каждой точки фигуры принадлежит этой же фигуре. Если хотя бы одна точка после отражения окажется вне фигуры, данная плоскость не является её плоскостью симметрии.

Если плоскость делит фигуру на две зеркально совпадающие части, она является плоскостью симметрии. При отражении одна часть переходит в другую, а точки на самой плоскости остаются неподвижными. Простого разделения фигуры на две части мало: эти части должны иметь одинаковую форму и располагаться на равных расстояниях от плоскости.

Построение и свойства симметрии относительно плоскости

В таблице удобно сначала найти нужный объект, а затем посмотреть способ построения или проверки. Последний столбец показывает, какие свойства нельзя потерять при отражении. Если результат не соответствует этому столбцу, построение или вывод нужно проверить.

Разбор задач

Задача 1

Условие: дана точка A на расстоянии 3 см от плоскости α. Требуется построить точку, симметричную A относительно α. Число 3 см задаёт расстояние от исходной точки до плоскости, поэтому такое же расстояние нужно отложить в противоположную сторону.

1. Проведём из точки A перпендикуляр к плоскости α и обозначим точку пересечения через H.
2. На продолжении этого перпендикуляра за плоскостью α отметим точку A₁ так, чтобы HA₁ = 3 см.
3. Проверим построение: точки A и A₁ находятся по разные стороны α, а отрезок AA₁ перпендикулярен плоскости.

Ответ: точка A₁, построенная на перпендикуляре к α по другую сторону плоскости на расстоянии 3 см от H, симметрична точке A.

Задача 2

Условие: точки A и B симметричны относительно плоскости α, расстояние от A до α равно 4 см. Нужно найти расстояние от B до α. Симметрия не меняет расстояние до плоскости, а точки располагаются на равных расстояниях по разные стороны.

1. Запишем свойство симметричных точек: расстояние от A до α равно расстоянию от B до α.
2. Подставим известное значение: расстояние от B до α = 4 см.
3. Проверим смысл ответа: B должна находиться по другую сторону α, но так же далеко от неё, как A.

Ответ: расстояние от B до плоскости α равно 4 см.

Задача 3

Условие: нужно определить, является ли плоскость, содержащая основание правильной четырёхугольной пирамиды и проходящая через её вершину, плоскостью симметрии. Плоскость содержит всё основание и вершину, значит, надо проверить, что происходит с боковыми гранями и вершинами основания. Одного факта прохождения плоскости через важные точки недостаточно.

1. Рассмотрим правильное четырёхугольное основание: выбранная плоскость совпадает с его плоскостью, поэтому все вершины основания лежат в ней.
2. Вершина пирамиды тоже лежит в этой плоскости и при отражении остаётся на месте.
3. Но плоскость основания не делит пирамиду на две части по разные стороны: вся пирамида расположена с одной стороны от основания, а вершина не может одновременно быть вершиной плоскости, содержащей основание.
4. Следовательно, указанное описание не задаёт плоскость симметрии пирамиды: для правильной пирамиды плоскостью симметрии может быть вертикальная плоскость, проходящая через вершину и диагональ основания.

Ответ: нет, плоскость основания не является плоскостью симметрии пирамиды; нужно рассматривать плоскость через вершину и диагональ основания.

Типичные ошибки

Иногда равное расстояние откладывают по наклонной линии, а не по перпендикуляру к плоскости. Так происходит, если забывают, что расстоянием от точки до плоскости считается длина перпендикуляра. Проверьте себя: соединяющий симметричные точки отрезок должен быть перпендикулярен плоскости.

Другие ученики строят новую точку на той же стороне плоскости. Причина ошибки — внимание только к равенству расстояний без учёта направления отражения. Убедитесь, что точки находятся по разные стороны плоскости, а сама плоскость проходит между ними.

Нельзя считать плоскостью симметрии любую плоскость, которая просто делит фигуру на две части. Части могут иметь разную форму или находиться на разных расстояниях от плоскости. Мысленно отразите одну часть и проверьте, совпадёт ли она со второй.

Иногда полагают, что точка на плоскости переходит в другую точку. Это происходит из-за представления о любом отражении как о перемещении. Проверьте расстояние до плоскости: оно равно нулю, поэтому точка остаётся на месте.

Связь с другими темами

До изучения симметрии нужно уметь проводить перпендикуляр к плоскости и находить расстояние от точки до плоскости. Эти знания нужны, потому что построение симметричной точки полностью основано на перпендикуляре и равенстве расстояний. Без них трудно правильно расположить точку по другую сторону плоскости.

Симметрия помогает изучать свойства геометрических тел и распознавать их плоскости симметрии. Она связана с пространственными построениями, сравнением фигур и представлением о зеркальном отражении. Например, с её помощью можно понять, почему некоторые части куба или пирамиды устроены одинаково.

Что запомнить

• Симметричные точки лежат на одном перпендикуляре к плоскости.
• Плоскость проходит через середину отрезка, соединяющего симметричные точки.
• Симметричные точки равноудалены от плоскости.
• Точки плоскости симметрии остаются на месте.
• Симметрия сохраняет расстояния и форму фигуры.
• Плоскость симметрии переводит фигуру в саму себя.