17.2. Центральная симметрия пространственных фигур

Определения и обозначения

Центральная симметрия — преобразование пространства, при котором каждая точка переходит в точку, симметричную ей относительно одного общего центра. Иными словами, все пары исходных точек и их образов связаны с одной и той же точкой. Это определение помогает понять, как строить не только отдельные точки, но и целые фигуры.

Центр симметрии — точка, являющаяся серединой отрезка, соединяющего любую точку и её образ. Если точка A переходит в A′, центр O лежит на отрезке AA′ и выполняется равенство OA = OA′. Это правило нужно для точного построения образа и проверки результата.

Симметричные точки — две точки, для которых центр симметрии является серединой соединяющего их отрезка. Поэтому точки находятся на одной прямой с центром и по разные стороны от него. Такое условие отличает симметричные точки от любых двух точек, просто одинаково удалённых от центра.

Центрально-симметричная фигура — пространственная фигура, совпадающая со своим образом при центральной симметрии. При этом каждой точке фигуры должна соответствовать точка той же фигуры. Определение позволяет решить, обладает ли симметрией вся фигура, а не только некоторые её части.

Как это устроено

Чтобы построить точку, симметричную A относительно центра O, сначала проводят прямую через A и O. На этой прямой за центром отмечают точку A′ так, чтобы OA′ равнялось OA. Это работает потому, что центр должен оказаться серединой AA′: равные части отрезка по разные стороны от середины заканчиваются именно в нужных точках. Если провести отрезок в другом направлении или отложить не ту длину, условие середины не выполнится.

Для любой пары соответствующих точек центр симметрии является серединой соединяющего их отрезка. Так происходит потому, что преобразование разворачивает направление от точки к центру на противоположное, сохраняя длину этого шага. Например, если исходная точка находится в 3 см от центра, её образ тоже будет в 3 см от него, но с другой стороны. Поэтому правило середины действует не только для одной пары, а для всех точек фигуры и её образа.

Образ пространственной фигуры строят по её элементам. Сначала находят образы вершин, затем соединяют их в соответствующем порядке: отрезки переходят в отрезки, а грани многогранника — в соответствующие грани. Такой порядок сохраняет устройство фигуры, потому что каждой точке и каждому соединению соответствует образ. Если при построении пропустить вершину или соединить её не с теми точками, получится уже другая фигура.

Центральная симметрия сохраняет расстояния, поскольку образ каждой точки расположен на той же прямой через центр, но в противоположном направлении. Фактически преобразование поворачивает фигуру на 180° вокруг центра, поэтому длины отрезков и величины углов не меняются. Параллельные прямые остаются параллельными, а перпендикулярные — перпендикулярными. Отсюда следует, что сохраняются форма и размеры фигуры: её образ равен исходной фигуре.

Одного совпадения отдельных сторон или вершин недостаточно, чтобы назвать фигуру центрально-симметричной. Нужно, чтобы для каждой её точки нашлась соответствующая точка той же фигуры, расположенная на той же прямой по другую сторону от центра. Если хотя бы для одной точки такого соответствия нет, образ выходит за пределы исходной фигуры или не совпадает с ней. Именно поэтому проверяют фигуру целиком, а не только заметные элементы.

Центральная симметрия точек и пространственных фигур

В таблице собраны правила построения образов разных объектов и свойства, которые при этом остаются неизменными. Сначала найди нужный объект, затем проверь условие для его образа. Строка о пространственной фигуре помогает отличить построение образа от проверки, есть ли у фигуры центр симметрии.

Разбор задач

1. Построение симметричной точки

Точка A симметрична точке A′ относительно центра O. Известно, что OA = 4 см. Нужно построить A′ и указать длину OA′. Здесь не требуется искать новый способ измерения: по определению центр делит отрезок между точками пополам. Поэтому расстояния от O до A и от O до A′ равны.

1. Проведи прямую через A и O.
2. Выбери на этой прямой направление от O, противоположное направлению к A.
3. Отложи от O в выбранном направлении 4 см и отметь конец отрезка как A′.

Проверь, что O находится между A и A′, а обе точки удалены от него на 4 см. Значит, O — середина AA′, как и требуется по определению. Ответ: OA′ = 4 см.

2. Образ треугольника

Нужно построить образ треугольника ABC при центральной симметрии с центром O и доказать равенство полученного треугольника исходному. У треугольника три вершины, поэтому сначала достаточно найти образы всех трёх точек. Затем соответствующие вершины соединяют, сохраняя порядок сторон. Равенство можно доказать, используя сохранение расстояний при центральной симметрии.

1. Проведи прямые AO, BO и CO.
2. На каждой прямой отметь по другую сторону от O точки A′, B′ и C′ так, чтобы OA′ = OA, OB′ = OB и OC′ = OC.
3. Соедини A′, B′ и C′. Получится образ треугольника ABC.
4. При центральной симметрии сохраняются длины, поэтому A′B′ = AB, B′C′ = BC и C′A′ = CA.

У исходного и полученного треугольников равны все три соответствующие стороны. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам. Ответ: треугольник A′B′C′ — образ ABC, и он равен исходному.

3. Центр параллелепипеда

Нужно определить, есть ли центр симметрии у прямоугольного параллелепипеда, найти его и построить образ одной вершины. Вершины параллелепипеда разбиваются на пары противоположных вершин, а соединяющие их пространственные диагонали пересекаются в одной точке. Для проверки важно установить, что эта точка делит каждую диагональ пополам, а не только одну из них.

1. Проведи пространственные диагонали параллелепипеда.
2. Обозначь их общую точку пересечения буквой O.
3. Возьми вершину A и проведи диагональ к противоположной вершине.
4. Продолжи отрезок AO за O на такую же длину. Конец отрезка — образ A′, то есть противоположная вершина.

Точка O делит диагонали пополам, поэтому каждой вершине соответствует противоположная вершина на той же диагонали. Значит, образ параллелепипеда совпадает с ним, а O является центром симметрии. Ответ: центр — точка пересечения пространственных диагоналей; образ вершины — противоположная ей вершина.

Типичные ошибки

• Центральную симметрию путают с осевой и ищут прямую-ось вместо точки. Это происходит потому, что оба преобразования связаны с симметричными парами точек. Проверь себя: в этой теме должен быть один общий центр, являющийся серединой отрезка между каждой парой точек.

• Исходную точку и её образ помещают по одну сторону от центра. Так ошибаются, если смотрят только на равенство расстояний и забывают о середине отрезка. Проверь порядок точек на прямой: центр должен находиться между исходной точкой и её образом.

• Симметричными считают любые точки на одинаковом расстоянии от центра. Равенство расстояний необходимо, но само по себе недостаточно: точки могут лежать на разных прямых. Проверь, находятся ли обе точки вместе с центром на одной прямой и по разные стороны от него.

• Фигуру называют центрально-симметричной, если совпадают только отдельные её элементы. Такая ошибка появляется, когда проверяют лишь несколько вершин или граней, а не весь объект. Проверь соответствие для каждой точки: только совпадение всей фигуры с её образом подтверждает центральную симметрию.

Связь с другими темами

Для работы с центральной симметрией нужно уметь находить середину отрезка, различать прямую и отрезок в пространстве, знать равенство фигур и свойства параллелепипеда. Эти знания помогают строить образы и проверять, совпадают ли фигуры. Тема пригодится при изучении симметрии плоских фигур, преобразований, многогранников и построении сечений. Центральная симметрия связана с движением — преобразованием, которое сохраняет расстояния и форму.

Что запомнить

• Центральная симметрия задаётся одной точкой — центром симметрии.
• Центр симметрии является серединой отрезка между соответствующими точками.
• Соответствующие точки лежат на одной прямой с центром и находятся по разные стороны от него.
• При центральной симметрии сохраняются расстояния, углы, параллельность и размеры.
• Фигура центрально-симметрична, если она совпадает со своим образом.
• У параллелепипеда центр симметрии находится в точке пересечения его диагоналей.