17.1. Центральная симметрия фигур на плоскости

Определения и обозначения

Центральная симметрия относительно точки O — преобразование, при котором каждой точке A соответствует точка A′, а O является серединой отрезка AA′. Значит, точки A, O и A′ лежат на одной прямой, причём O находится между ними и OA = OA′. Это определение помогает точно построить образ точки и проверить результат.

Точка O, относительно которой рассматривают центральную симметрию, называется центром симметрии. Она задаёт положение, вокруг которого выполняется преобразование. Центр может быть как внутри фигуры, так и вне её.

Точки A и A′ называют симметричными относительно точки O, если O — середина отрезка AA′. Иначе говоря, обе точки находятся на одной прямой по разные стороны от O и на равном расстоянии от него. Это условие используется при построении и проверке пар точек.

Центрально-симметричная фигура — фигура, которая при центральной симметрии относительно некоторой точки переходит сама в себя. Каждой её точке соответствует другая точка той же фигуры. Такое определение позволяет отличить фигуру с центром симметрии от фигуры, образ которой просто похож на исходную.

Как это устроено

Чтобы построить точку, симметричную данной, сначала проводят прямую через данную точку и центр. Это нужно, потому что точка, её образ и центр должны находиться на одной прямой. Затем за центром откладывают отрезок той же длины, что и от исходной точки до центра. Так образ оказывается по другую сторону от центра, а расстояния до него совпадают.

Центр является серединой отрезка между точкой и её образом не случайно. При симметрии расстояние от центра до образа должно быть таким же, как до исходной точки. При этом точки располагаются на одной прямой по разные стороны от центра. Равенства расстояний без этого расположения недостаточно: точки могут находиться на разных прямых.

Чтобы получить образ фигуры, строят симметричные образы всех её точек. Для отрезка достаточно построить образы концов, а затем соединить их: остальные точки отрезка тоже переходят в точки нового отрезка. У многоугольника строят образы вершин и соединяют их по порядку. В общем случае образ состоит из образов всех точек исходной фигуры.

Центральная симметрия сохраняет форму и размеры, потому что соответствует повороту на 180° вокруг центра. При таком повороте каждая точка оказывается на противоположной стороне от центра на прежнем расстоянии. Поэтому длины отрезков и углы не меняются, а фигура не растягивается и не сжимается. Меняется только её положение на плоскости.

Проверяя, есть ли у фигуры центр симметрии, сопоставляют её точки попарно. Для каждой точки нужно найти точку той же фигуры так, чтобы предполагаемый центр был серединой отрезка между ними. Если соответствующей точки в фигуре нет хотя бы для одной точки, симметрии относительно этого центра нет. Для многоугольника удобно начать с вершин.

Образы фигур при центральной симметрии

Выбери в таблице исходную фигуру и найди подходящий способ построения. При работе сначала отмечай образ каждой точки или вершины, а затем соединяй полученные точки. Последний столбец подсказывает, какие свойства можно проверить у результата.

Разбор задач

Точка A находится на расстоянии 3 см от точки O. Постройте точку, симметричную A относительно O.

1. Проведём прямую AO, потому что точка и её образ должны лежать вместе с центром на одной прямой. Отметим, в какую сторону от O находится A. Образ нужно искать с противоположной стороны.
2. Измерим расстояние OA: по условию оно равно 3 см. От точки O в противоположном направлении отложим на прямой отрезок длиной 3 см. Его конец обозначим A′.
3. Проверим построение: O лежит между A и A′, а OA = OA′ = 3 см. Значит, O — середина AA′, и точки A и A′ симметричны относительно O.

Ответ: искомая точка A′ находится на прямой AO по другую сторону от O на расстоянии 3 см.

Постройте фигуру, симметричную треугольнику ABC относительно точки O.

1. Найдём образы вершин A, B и C. Для каждой вершины проведём прямую через неё и O. Это необходимо, чтобы соответствующая вершина оказалась на той же прямой с центром.
2. На каждой прямой отложим за O отрезок, равный расстоянию от O до исходной вершины. Получим точки A′, B′ и C′. Для каждой пары проверим, что O находится между вершинами и расстояния до O равны.
3. Соединим A′ с B′, B′ с C′, а C′ с A′. Порядок соединения сохраняет соответствие сторон исходного треугольника и не меняет его форму.

Ответ: треугольник A′B′C′ — образ треугольника ABC относительно точки O.

Дан четырёхугольник ABCD. Проверьте, является ли точка O его центром симметрии.

1. У четырёхугольника противоположными являются пары вершин A и C, B и D. Если O — центр симметрии, эти вершины должны переходить друг в друга. Поэтому O должна быть серединой и диагонали AC, и диагонали BD.
2. Проверим диагональ AC: точки A, O и C должны лежать на одной прямой, а расстояния OA и OC должны быть равны. Затем так же проверим диагональ BD: O должна лежать между B и D, причём OB = OD.
3. Если оба условия выполнены, вершины попарно симметричны относительно O. Если хотя бы одно не выполнено, точка O не является центром симметрии данного четырёхугольника.

Ответ: O является центром симметрии тогда и только тогда, когда она делит обе диагонали пополам.

Типичные ошибки

• Иногда равный отрезок откладывают от центра в ту же сторону, где находится исходная точка. Так получается не её образ: точка и образ должны лежать по разные стороны от центра. Проверь, что центр находится между ними, а длины отрезков до него равны.

• Можно ошибочно решить, что центр симметрии обязательно должен принадлежать фигуре. Это условие не входит в определение: важны пары точек и положение центра между ними. Проверяй соответствие точек фигуры, а не то, попадает ли центр на её контур.

• Равенства расстояний до центра недостаточно, если точки не лежат на одной прямой. Эту ошибку допускают, проверяя только длины, но забывая о направлении. Проведи прямую через точку и центр: образ должен лежать на её продолжении с противоположной стороны.

• При построении многоугольника можно соединить вершины-образы в неверном порядке. Тогда стороны будут соответствовать не исходным сторонам, и получится другая фигура. Подписывай образы вершин и соединяй A′ с B′, B′ с C′ и далее в том же порядке, что в исходном многоугольнике.

Связь с другими темами

Для построений понадобятся навыки нахождения середины отрезка, проведения прямой и откладывания заданной длины. Эти действия помогают проверить, что центр действительно делит отрезок между точкой и её образом пополам. Центральная симметрия пригодится при изучении симметричных фигур, свойств многоугольников и преобразований на координатной плоскости. Она связана с поворотом на 180° вокруг точки: такой поворот даёт тот же результат.

Что запомнить

• При центральной симметрии центр является серединой отрезка, соединяющего точку и её образ.
• Точка и её образ лежат на одной прямой по разные стороны от центра.
• Расстояния от центра до точки и её образа равны.
• Образ фигуры строят по образам всех её точек.
• Центральная симметрия сохраняет форму и размеры фигуры.
• Центрально-симметричная фигура переходит сама в себя при симметрии относительно своего центра.