§ 17. Центральная симметрия фигур

Определения и обозначения

Центральная симметрия — преобразование, при котором каждой точке соответствует точка по другую сторону от центра на таком же расстоянии. Например, точка A переходит в точку A′ так, что расстояния от них до центра равны. Это правило позволяет точно строить точки и фигуры, а не размещать их на глаз.

Центр симметрии — точка, относительно которой выполняется центральная симметрия. Обычно его обозначают буквой O. Он нужен, чтобы определить, где должен находиться образ каждой точки: образ располагается на той же прямой, но по другую сторону от O.

Симметричные точки — точки A и A′, для которых центр симметрии является серединой отрезка AA′. Значит, O лежит между A и A′, а отрезки OA и OA′ равны. Это определение помогает проверить симметрию пары точек по чертежу или измерениям.

Центрально-симметричная фигура — фигура, которая при центральной симметрии относительно некоторой точки переходит сама в себя. Это означает, что для каждой точки фигуры её образ тоже принадлежит фигуре. Такое определение нужно, чтобы отличать симметрию всей фигуры от совпадения лишь отдельных точек.

Как это устроено

Чтобы построить точку A′, симметричную точке A относительно центра O, сначала проводят прямую AO. Затем за центром, на противоположной стороне от A, откладывают OA′ = OA. Такой порядок выбран не случайно: точки A и A′ должны находиться на одной прямой с O, а равные расстояния по разные стороны делают O серединой AA′. Поэтому для построения нужны линейка и циркуль либо линейка и точное измерение.

Если точка A совпадает с центром O, её образ тоже совпадает с ней. В этом случае расстояние от точки до центра равно нулю, и на противоположной стороне не нужно откладывать никакого отрезка. Иначе точка оказалась бы не на том же расстоянии от центра. Поэтому центр при преобразовании остаётся на месте.

Образ фигуры строят по её характерным точкам, то есть по тем точкам, которые задают её форму. Например, для многоугольника достаточно построить образы вершин: каждая сторона соединяет две соседние вершины, поэтому после переноса вершин можно восстановить стороны. Их соединяют в том же порядке, чтобы не перепутать контур. Так получается фигура, симметричная исходной относительно выбранного центра.

Центральная симметрия сохраняет расстояния и углы: точки лишь меняют положение относительно центра, но не растягиваются и не сжимаются. Поэтому образ отрезка имеет ту же длину, что и исходный, а соответствующие стороны и углы многоугольников равны. Это свойство объясняет, почему фигура и её образ равны, даже если расположены в разных местах плоскости.

Чтобы точка была центром симметрии всей фигуры, недостаточно проверить одну пару точек. Каждой точке фигуры должна соответствовать точка, которая после преобразования также лежит в этой фигуре. Если хотя бы для одной точки образ оказывается снаружи, фигура при симметрии не переходит сама в себя и выбранная точка не является её центром.

Как распознать центральную симметрию

Сначала определи, что именно проверяешь: пару точек или целую фигуру. Для пары проверь середину и равенство расстояний, а для фигуры — остаются ли на ней образы всех её точек. Примеры в последнем столбце показывают, где искать подходящий центр.

Разбор задач

Задача 1. Точка O — середина отрезка AB. Укажите, какие точки симметричны относительно O.

Нужно применить определение к каждой паре: центр должен быть серединой соединяющего точки отрезка. Если O — середина AB, то точки A и B расположены по разные стороны от O на одинаковом расстоянии. Следовательно, именно эта пара симметрична относительно O.

1. Рассматриваем отрезок AB, соединяющий данные точки.
2. По условию O — его середина, значит, O лежит между A и B и OA = OB.
3. Делаем вывод: A и B симметричны относительно O.

Ответ: точки A и B.

Задача 2. Постройте точку A′, симметричную данной точке A относительно точки O.

Искомая точка должна лежать на прямой AO, поскольку центр и две симметричные точки находятся на одной прямой. Она должна оказаться за O, иначе обе точки будут по одну сторону от центра. Равенство OA′ = OA обеспечит, что O станет серединой AA′.

1. Проведи прямую через точки A и O.
2. Продолжи её за O в сторону, противоположную точке A.
3. Измерь OA и отложи на продолжении равный отрезок; его конец обозначь A′.

Ответ: построенная точка A′ удовлетворяет условиям O лежит между A и A′ и OA = OA′.

Задача 3. Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что его центр симметрии — точка пересечения диагоналей.

Обозначим точку пересечения диагоналей через O. По свойству параллелограмма диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Значит, O — середина AC и BD. Теперь нужно связать это свойство с определением симметричных точек.

1. Из того, что O — середина AC, следует: вершины A и C симметричны относительно O.
2. Из того, что O — середина BD, следует: вершины B и D тоже симметричны относительно O.
3. При центральной симметрии стороны переходят в противоположные стороны, а весь контур параллелограмма совпадает с ним.

Ответ: точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.

Типичные ошибки

Ошибка: считать симметричными любые точки, лежащие на одной прямой с центром. Одной прямой недостаточно, потому что центр может быть смещён и не делить отрезок между точками пополам. Так ошибаются, когда проверяют только направление и не сравнивают расстояния. Проверь себя: центр должен лежать между точками, а расстояния от него до обеих точек должны быть равны.

Ошибка: откладывать отрезок равной длины от точки A, а не от центра O. Нужно сравнивать OA и OA′, ведь именно центр является серединой между точкой и её образом. Путаница возникает, если считать началом измерения исходную точку. Проверь построение: оба расстояния должны начинаться в O.

Ошибка: построить образ на той же стороне от центра, что и исходную точку. Тогда центр не окажется между точками, хотя длина отрезка может быть отложена верно. Обычно это происходит, если не продолжить прямую через O в нужную сторону. Проверь себя: A и A′ должны находиться по разные стороны от O, если A не совпадает с O.

Ошибка: назвать фигуру центрально-симметричной, проверив только одну пару её точек. Эта пара может подходить, но другие точки фигуры при том же преобразовании окажутся вне неё. Так бывает, когда судят о всей фигуре по отдельному участку. Проверь, что образ каждой точки фигуры снова принадлежит ей.

Связь с другими темами

Для построения симметричной точки нужно уметь находить середину отрезка, измерять расстояния и проводить прямую через две точки. Центральную симметрию можно представить как поворот на 180° вокруг центра: точка оказывается на противоположной стороне на прежнем расстоянии. Знание этой темы пригодится при изучении свойств параллелограмма и других фигур, а также при построении симметричных изображений.

Что запомнить

• При центральной симметрии центр является серединой отрезка, соединяющего точку и её образ.
• Для точки A и её образа A′ выполняется OA = OA′.
• Точки A, O и A′ лежат на одной прямой.
• Точка, совпадающая с центром, переходит сама в себя.
• Центральная симметрия сохраняет расстояния и углы.
• Фигура имеет центр симметрии, если при симметрии относительно него переходит сама в себя.