16.2. Как построить две фигуры, симметричные относительно прямой?

Определения и обозначения

Две точки симметричны относительно прямой, если они лежат на одном перпендикуляре к этой прямой, по разные стороны от неё и на одинаковом расстоянии. Например, если расстояние от точки до прямой равно 2 см, то её симметричная точка тоже должна отстоять от прямой на 2 см. Это определение помогает понять, где именно искать образ точки.

Ось симметрии — прямая, относительно которой рассматривают отражение фигуры. Её можно представить как зеркало: по одну сторону находится исходная фигура, по другую — её отражение. Название оси удобно использовать, чтобы отличать эту прямую от других линий на чертеже.

Фигура, симметричная данной относительно прямой, — это фигура, полученная отражением каждой точки исходной фигуры относительно этой прямой. Каждая точка получает свою соответствующую точку, а вместе эти точки образуют новую фигуру. Такое определение позволяет строить не только отдельные точки, но и целые многоугольники.

Точка, лежащая на оси симметрии, при отражении переходит сама в себя. Она не смещается, потому что уже находится на прямой, от которой нужно отсчитывать расстояние. Это правило помогает правильно строить фигуры, если ось проходит через одну или несколько их вершин.

Как это устроено

Построение симметричной фигуры сводится к построению точек, соответствующих точкам исходной фигуры. Фигура состоит из точек, поэтому достаточно понять, куда переходит каждая из них. Если построить нужные образы и восстановить связи между ними, получится отражённая фигура, а не просто похожий рисунок.

Чтобы построить образ точки, через неё проводят перпендикуляр к оси и отмечают на другой стороне оси точку на таком же расстоянии. Перпендикуляр задаёт единственное направление, в котором нужно искать образ: по наклонному отрезку расстояние до прямой было бы больше, а точки не оказались бы на одном перпендикуляре. Равные расстояния нужны потому, что отражение сохраняет удалённость от оси. Место, где перпендикуляр пересекает ось, становится серединой отрезка между точкой и её образом.

Если исходная точка лежит на оси, её образ совпадает с ней, поэтому такую точку не переносят на другую сторону. У неё нет расстояния, которое нужно было бы отложить от оси: оно равно нулю. Попытка сдвинуть её привела бы к точке, которая уже не лежит на оси и не является её образом.

Для многоугольника строят образы всех вершин, а затем соединяют их в том же порядке, что и исходные вершины. Например, если исходный треугольник обозначен вершинами A, B и C, то после построения A′, B′ и C′ проводят стороны A′B′, B′C′ и C′A′. Порядок соединения сохраняет соседство вершин и не даёт случайно получить другую фигуру.

Для кривой или другой фигуры строят образы характерных точек и по ним восстанавливают её симметричную часть. Характерными могут быть концы линии, места изгиба или точки, через которые удобно провести вспомогательные перпендикуляры. Чем точнее выбраны и отражены такие точки, тем точнее получится форма. Если кривая сложная, полезно отметить больше точек, а затем плавно соединить их.

Как построить точку, симметричную относительно прямой

Таблица напоминает, что делать в зависимости от положения исходной точки. В последнем столбце перечислены признаки, по которым можно проверить результат. Сверяйся с ним после построения, чтобы не полагаться только на вид чертежа.

Разбор задач

Задача 1. Дана точка A и прямая l. Постройте точку, симметричную A относительно l. Сначала нужно определить кратчайшее расстояние от A до прямой: оно измеряется по перпендикуляру. Затем это расстояние откладывают с другой стороны l, чтобы получить точку A′.

1. Проведите через A перпендикуляр к прямой l и обозначьте точку пересечения через H.
2. Измерьте отрезок AH. На продолжении перпендикуляра за прямую l отметьте точку A′ так, чтобы HA′ = AH.
3. Проверьте, что A и A′ находятся по разные стороны l и отрезок AA′ перпендикулярен l.

Ответ: точка A′, построенная на перпендикуляре к l по другую сторону прямой на расстоянии HA′ = AH. Такая проверка подтверждает, что l проходит через середину AA′. Значит, построенная точка симметрична A относительно l.

Задача 2. Постройте треугольник, симметричный данному относительно прямой, проходящей вне треугольника. Пусть вершины исходного треугольника — A, B и C. Каждую вершину нужно отразить отдельно, иначе стороны могут получиться неверной длины или направления.

1. Проведите из A, B и C перпендикуляры к оси и отметьте на них образы A′, B′ и C′ на другой стороне на равных расстояниях.
2. Соедините A′ с B′, B′ с C′, а C′ с A′. Сохраняйте исходный порядок вершин.
3. Для каждой пары проверьте, что точки находятся по разные стороны оси, а расстояния от них до оси равны.

Ответ: треугольник A′B′C′. Например, образ вершины A лежит на том же перпендикуляре к оси, что и A, поэтому его можно проверить независимо от остальных вершин. После этого соединение по порядку даёт отражённый треугольник.

Задача 3. Постройте фигуру, симметричную четырёхугольнику относительно прямой, проходящей через одну из его вершин. Пусть ось проходит через вершину A, а остальные вершины — B, C и D. Вершина A не должна смещаться: она уже находится на оси.

1. Оставьте вершину A на месте, а для B, C и D проведите перпендикуляры к оси.
2. На другой стороне оси отметьте B′, C′ и D′ на расстояниях, равных расстояниям соответствующих исходных вершин до оси.
3. Соедините A, B′, C′ и D′ в том же порядке, в котором были соединены вершины исходного четырёхугольника.

Ответ: четырёхугольник AB′C′D′. Проверьте каждую отражённую вершину отдельно, а затем убедитесь, что соседние вершины соединены в правильном порядке. Вершина A остаётся общей для исходной фигуры и её отражения.

Типичные ошибки

Откладывать расстояние до оси не по перпендикуляру — ошибка, потому что расстояние от точки до прямой измеряют именно по перпендикуляру. Её допускают, когда проводят линию на глаз и стараются сделать чертёж быстрее. Проверьте, образует ли отрезок до оси прямой угол; образ и исходная точка должны лежать на одной перпендикулярной линии.

Если отложить от оси другое расстояние, точки не будут симметричны, хотя могут оказаться по разные стороны прямой. Часто это происходит из-за неточного измерения или попытки перенести отрезок на глаз. Измерьте расстояния от обеих точек до оси по одному перпендикуляру и сравните их.

Образ точки, не лежащей на оси, нужно размещать по другую сторону от неё. Если отметить его на той же стороне, получится не отражение, а другая точка рядом с исходной. Перед проверкой посмотрите, пересекает ли ось отрезок между исходной точкой и её образом.

При построении многоугольника нельзя соединять образы вершин в случайном порядке. Из-за этого стороны могут пересечься или получится другая фигура; обычно ошибаются, забывая, какие вершины были соседними. Запишите исходный порядок вершин и повторите его для образов, а затем проверьте соединения по сторонам исходного многоугольника.

Связь с другими темами

Для построения симметричных точек нужно уметь проводить перпендикуляр к прямой и измерять расстояние от точки до прямой. Эти умения помогают точно расположить образ, а не выбирать его место на глаз. При проверке полезны понятия отрезка, его середины и равных расстояний: ось проходит через середину отрезка между точками.

Осевая симметрия пригодится при изучении симметричных фигур: по ней можно распознавать, как части фигуры соответствуют друг другу. Она также связана с построениями циркулем и линейкой, где важно точно проводить перпендикуляры и переносить длины. Такие построения помогают создавать отражённую фигуру без измерений на глаз.

Что запомнить

• Образ точки строят по перпендикуляру к оси.
• Исходная точка и её образ находятся по разные стороны оси на равных расстояниях от неё.
• Точка на оси остаётся на месте.
• Чтобы получить симметричный многоугольник, строят образы его вершин.
• Образы вершин соединяют в том же порядке, что и исходные вершины.
• Ось симметрии перпендикулярна отрезку, соединяющему точку и её образ, и делит его пополам.