6.1. Кружево и вышивка на уроках геометрии

Определения и обозначения

Орнамент — это узор, в котором элементы повторяются по определённому правилу. В упорядоченном узоре можно заметить закономерность: например, ромбы идут один за другим на одинаковом расстоянии. Случайный набор фигур такого правила не имеет, поэтому орнаментом его не называют.

Мотив орнамента — элемент или группа элементов, которые повторяются в узоре. Например, мотивом могут быть ромб и два маленьких треугольника рядом с ним. По мотиву удобно понять, из каких частей составлен узор и как его продолжить.

Раппорт — часть орнамента, повторение которой позволяет получить весь узор. В раппорт входит один полный повторяющийся фрагмент, а не только его случайно выбранная часть. Найдя раппорт, легче увидеть порядок узора и не пропустить нужный элемент при продолжении.

Симметрия — такое расположение частей узора, при котором они совпадают при определённом преобразовании. Например, если отразить узор относительно прямой, как в зеркале, его левая и правая части могут совпасть. Эта прямая называется линией симметрии и помогает проверить, одинаково ли устроены обе стороны.

Как это устроено

Кружево и вышивка помогают увидеть геометрические фигуры не только на чертеже, но и в предметах искусства. Переплетения нитей образуют линии, а их пересечения и контуры складываются в треугольники, ромбы и другие фигуры. Если назвать эти элементы, узор становится понятнее: можно описать, из чего он состоит и как части связаны друг с другом.

Чтобы выбрать мотив, сначала сравнивают несколько соседних фрагментов узора. Если одинаковый элемент или группа фигур встречается снова в том же порядке, это хороший кандидат на мотив. Его границы проводят так, чтобы внутри оказался полный повтор, а при перемещении к следующему фрагменту не возникало пропусков или лишних частей.

Когда мотив повторяют вдоль полосы, отдельные элементы складываются в непрерывный орнамент. Для этого соседние мотивы располагают одинаково и оставляют между ними равные промежутки: иначе узор будет выглядеть прерывистым или случайным. Раппорт показывает, какой отрезок полосы нужно повторить, чтобы сохранить общий порядок.

Симметричный узор можно получить, отразив элементы относительно линии. Сначала выбирают линию симметрии, затем располагают по разные стороны от неё соответствующие фигуры на одинаковом расстоянии. Это правило нужно, чтобы обе части совпали при отражении, а не только казались похожими на глаз.

Для собственного орнамента достаточно соединить простые фигуры и повторить получившийся мотив. Например, квадрат можно дополнить двумя треугольниками, отразить одну часть относительно линии и перенести весь фрагмент дальше по полосе. Если повторять мотив в одном порядке и не менять его размер, получится цельный узор, который можно продолжать.

Как устроены узоры в кружеве и вышивке

В таблице собраны разные способы построения узора. Сначала определи, что именно повторяется или сравнивается, затем найди в рисунке характерный признак и назови геометрический элемент. Один узор может сочетать сразу несколько способов.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке вышивки несколько одинаковых ромбов расположены в ряд. Найдите один повторяющийся мотив и укажите, из каких фигур он состоит. Чтобы ответить, нужно не только назвать заметную фигуру, но и проверить, не повторяется ли рядом с ней постоянная группа элементов.

1. Сравним соседние фрагменты ряда и найдём одинаковые части.
2. Если повторяются только ромбы, один ромб можно принять за мотив. Если у каждого ромба рядом расположены одинаковые дополнительные фигуры, включим их в мотив тоже.
3. Назовём все фигуры, входящие в выбранную повторяющуюся часть.

Ответ: если дополнительных элементов нет, мотивом служит один ромб. Если рядом с каждым ромбом повторяются другие фигуры, мотив состоит из ромба и этих фигур.

Задача 2

Дан фрагмент узора из треугольников и квадратов. Продолжите его на несколько элементов, сохранив порядок повторения. Недостаточно просто использовать те же фигуры: важно выяснить последовательность, чтобы продолжение подходило к уже нарисованной части.

1. Прочитаем элементы слева направо и запишем их порядок словами, например: треугольник, квадрат, треугольник, квадрат.
2. Проверим, повторяется ли эта пара. Если да, она и задаёт мотив для продолжения.
3. Добавим следующие фигуры по той же очереди, сохраняя их размеры и промежутки.

Ответ: продолжение повторяет найденную последовательность. Если в мотиве сначала идёт треугольник, а затем квадрат, после последнего элемента нужно поставить фигуру, которая следует по этому порядку.

Задача 3

Придумайте узор для полосы: используйте квадрат, два треугольника и линию симметрии. Повторите мотив три раза. Здесь нужно составить фрагмент, проверить его симметрию и лишь потом разместить повторы, чтобы полоса получилась упорядоченной.

1. Нарисуем квадрат и проведём через выбранное место линию симметрии.
2. Расположим два треугольника по разные стороны линии так, чтобы при отражении они совпали. Это образует симметричную часть мотива.
3. Повторим полученный мотив ещё два раза, сохраняя его размер и одинаковые промежутки.

Ответ: получится полоса из трёх одинаковых мотивов; в каждом квадрат и два треугольника расположены симметрично относительно линии.

Типичные ошибки

Иногда любой набор фигур называют орнаментом. Так происходит, если замечают сами фигуры, но не проверяют порядок их расположения. Сравни соседние части: если нельзя найти повторяющееся правило, это пока просто набор элементов, а не орнамент.

Другой промах — объявить мотивом случайный кусочек узора. Ученик может выбрать красивый фрагмент, не проверив, повторяется ли он ещё где-нибудь. Проверь выбранную часть по всему узору: если она встречается снова в том же виде и порядке, её можно считать мотивом.

При продолжении узора иногда меняют размер фигур или переставляют их местами. Это часто случается, когда запоминают общий вид, но не сам порядок элементов. Сверь каждый новый фрагмент с раппортом: фигуры должны идти в той же последовательности, быть того же размера и располагаться с такими же промежутками.

Похожие фигуры не всегда симметричны. Можно принять две части за симметричные из-за одинаковой формы, хотя они стоят на разном расстоянии от предполагаемой линии или направлены не так. Проведи линию симметрии и проверь отражение: соответствующие части должны точно совпасть, а не только быть похожими.

Связь с другими темами

Для работы с узорами нужно уметь распознавать и изображать простые геометрические фигуры, проводить прямые линии и сравнивать элементы по форме и размеру. Эти навыки помогают точно выделить мотив и его части. Тема связана с симметрией и геометрическими преобразованиями: отражение показывает, как одна часть может соответствовать другой.

Знания пригодятся при создании чертежей узоров и работе с клетчатой бумагой, где удобно следить за размерами и расстояниями. Они помогают замечать, как устроены орнаменты в искусстве, и придумывать собственные варианты. Геометрия здесь служит способом описать и построить красивый, упорядоченный узор.

Что запомнить

• Орнамент строится по определённому правилу.
• Мотив — повторяющаяся часть узора.
• Раппорт помогает увидеть, как устроено повторение.
• При продолжении узора сохраняют порядок и размеры элементов.
• Симметрию проверяют по совпадению частей при отражении.
• Простые геометрические фигуры можно соединять в сложный узор.