§ 6. Отрезки и окружности на узорах

Определения и обозначения

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка и обозначают заглавными буквами, например отрезок AB. По концам можно узнать границы фигуры и измерить её длину линейкой.

Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки. Она не имеет начала и конца, потому что линия замыкается сама на себя. Это свойство помогает отличить окружность от других линий и строить её точно.

Центр окружности — точка, равноудалённая от всех точек окружности. Обычно центр обозначают заглавной буквой, например O. Он нужен для построения: иглу циркуля ставят именно в центр.

Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой. Радиусы одной окружности равны, поэтому достаточно выбрать один радиус и сохранить его длину. Радиус задаёт размер окружности.

Как это устроено

Чтобы найти элементы в узоре, сначала ищут прямые части с двумя концами. Это отрезки: их можно проследить от одной точки до другой. Затем находят замкнутые круглые линии, у которых нет концов; это окружности.

Окружность строят циркулем, потому что этот инструмент сохраняет одно и то же расстояние от иглы до карандаша. Сначала выбирают точку, которая будет центром, и ставят туда иглу. Затем раздвигают ножки циркуля на длину радиуса и проводят полный оборот карандашом.

Раствор циркуля — расстояние между его иглой и карандашом. Пока игла остаётся в центре, а раствор не меняется, карандаш движется на одинаковом расстоянии от центра. Поэтому каждая точка проведённой линии оказывается на окружности с одним и тем же радиусом.

Узор получается из повторяющихся элементов: например, из нескольких одинаковых окружностей, соединённых отрезками. Сначала находят основные точки и проводят окружности, затем добавляют отрезки или повторяют готовый элемент в другом месте. Такой порядок удобен, потому что новые линии опираются на уже построенные точки.

Проверяя рисунок, сравнивают его с заданными данными. Нужно убедиться, что центр находится в нужной точке, радиус имеет правильную длину, а концы отрезков попадают туда, куда задумано. Если окружность не проходит через нужную точку или отрезок начинается не там, построение следует исправить.

Элементы узора и их построение

В таблице сначала найдите название нужного элемента, а затем сравните его вид с узором. Последний столбец помогает проверить не только внешний вид, но и правильность построения.

Разбор задач

Задача 1

Условие. На рисунке узора отметь все отрезки и окружности, а затем назови, чем они отличаются.

1. Проследи каждую линию от начала до конца. Прямые части, у которых видны две конечные точки, отметь как отрезки.
2. Проверь оставшиеся линии: если они замыкаются и не имеют концов, это окружности.
3. Сравни элементы по главному признаку: отрезок ограничен двумя точками, а окружность является замкнутой линией.

Ответ. Все прямые части с двумя концами — отрезки, замкнутые круглые линии — окружности. Их различают по наличию концов и по форме линии.

Задача 2

Условие. Построй окружность с заданным центром и радиусом, затем проведи через её центр отрезок с концами на окружности.

1. Отметь заданный центр и обозначь его точкой O.
2. Измерь линейкой заданный радиус и установи такой же раствор циркуля.
3. Поставь иглу в точку O и проведи окружность, не сдвигая иглу и не меняя раствор.
4. Проведи прямую линию через O так, чтобы она пересекла окружность с двух сторон. Отметь точки пересечения и соедини их отрезком.

Ответ. Построена окружность с центром O и заданным радиусом. Полученный отрезок имеет оба конца на окружности и проходит через её центр.

Задача 3

Условие. Составь узор из нескольких одинаковых окружностей и отрезков по образцу; объясни последовательность построения.

1. Выбери один элемент узора и отметь все его основные точки.
2. Построй первую окружность, сохранив заданный раствор циркуля.
3. Повтори окружность в остальных центрах, не меняя радиус.
4. Соедини нужные точки отрезками и проверь, что каждый повтор расположен так же, как первый элемент.

Ответ. Узор построен повторением одного элемента. Одинаковый раствор циркуля сохраняет размеры окружностей, а одинаковое расположение отрезков делает узор регулярным.

Типичные ошибки

Окружность называют кругом. Ошибка появляется из-за того, что в обычной речи эти слова часто смешивают. Проверь себя: если показана только граница, это окружность, а если вместе с границей закрашено внутреннее пространство, это круг.

Радиусом считают любой отрезок внутри окружности. Так бывает, когда не проверяют его начало. Радиус обязательно начинается в центре и заканчивается на окружности.

При построении сдвигают иглу или меняют раствор циркуля. Из-за этого линия получается неровной или её радиус меняется. Проверь, остаётся ли игла в одной точке и сохраняется ли расстояние между ножками.

Отрезок путают с прямой. Причина ошибки — обе фигуры имеют вид ровной линии. У отрезка есть два конца, а прямая продолжается в обе стороны без концов.

Связь с другими темами

Для работы с узорами нужно уметь распознавать точки и прямые, измерять отрезки линейкой и пользоваться циркулем. Эти навыки помогают выполнять построения аккуратно и проверять результат.

Отрезки и окружности понадобятся при изучении геометрических фигур, черчении и создании орнаментов. На их основе строят много других изображений и узоров.

Что запомнить

• У отрезка два конца.
• Окружность — замкнутая линия.
• Центр равноудалён от всех точек окружности.
• Радиус соединяет центр с точкой окружности.
• Радиусы одной окружности равны.
• Для построения окружности используют циркуль.