10. Измерение длины

Определения и обозначения

Длина отрезка — величина, показывающая, сколько раз единичный отрезок укладывается в данном отрезке. Её используют, чтобы сравнивать отрезки и узнавать расстояния. Например, если единичный отрезок помещается в другом отрезке четыре раза, его длина равна четырём таким единицам.

Единица длины — отрезок, выбранный для сравнения и измерения других отрезков. Единицей может быть сантиметр, метр или другая заранее установленная величина. Выбор единицы нужен, чтобы результат измерения можно было записать числом и понимать, с чем это число сравнивали.

Сантиметр — единица длины, равная одной сотой метра. На линейке один сантиметр — расстояние между соседними длинными штрихами, подписанными целыми числами; например, между 0 и 1. Сантиметрами удобно измерять небольшие предметы и отрезки.

Измерение длины — сравнение отрезка с выбранной единицей и определение численного значения его длины. Результат состоит из числа и названия единицы: например, 5 см. Указание единицы необходимо, потому что число 5 само по себе не сообщает, сантиметры это, метры или миллиметры.

Как это устроено

Сравнивать длины отрезков можно наложением: один отрезок мысленно или аккуратно прикладывают к другому концом к концу. Если начала совпадают, сравнивают положение оставшихся концов. Конец более длинного отрезка выступит дальше, поэтому станет понятно, какой отрезок длиннее; если концы совпадут, длины равны.

Чтобы получить численное значение длины, сначала выбирают единичный отрезок, а затем проверяют, сколько раз он помещается в измеряемом. Это превращает сравнение в счёт: вместо слов «длиннее» или «короче» можно назвать число единиц. Результат зависит от выбора единицы: один и тот же отрезок в сантиметрах будет записан большим числом, чем в метрах.

Иногда выбранная единица не укладывается в отрезке целое число раз. Например, сантиметр может поместиться несколько раз, а оставшаяся часть окажется меньше сантиметра. Тогда берут единицу помельче, например миллиметр, чтобы точнее измерить остаток, или указывают приближённое значение, если точность до миллиметра не требуется.

Линейка уже размечена равными единицами, поэтому отдельно прикладывать единичный отрезок много раз не нужно. Совмести начало измеряемого отрезка с отметкой 0: так число у второго конца сразу покажет длину. Затем считай расстояние по делениям до конца отрезка, а не количество нарисованных штрихов. Если отрезок начинается не у нуля, найди разность между показаниями у его концов.

Одну длину можно записать в разных единицах, например в метрах или сантиметрах. Поэтому числа с разными обозначениями нельзя сразу сравнивать или складывать: сначала приведи длины к одной единице. Это помогает сравнивать сами величины, а не только числа в их записях; после вычисления единицу можно при необходимости заменить на более удобную.

Основные единицы длины и соотношения между ними

В таблице соседние крупные единицы обычно в 10 раз больше меньших, а километр равен 1000 метрам. При переходе к более мелкой единице число увеличивается, а к более крупной — уменьшается. Проверяй перевод по цепочке: например, 1 м = 10 дм, а каждый дециметр содержит 10 см, значит, 1 м = 100 см.

Разбор задач

Измерение линейкой

Условие: измерьте отрезок линейкой, если его начало совпадает с отметкой 0. Числовая длина зависит от того, где на линейке находится второй конец. Поскольку в условии не указано его положение и не дан сам отрезок, назвать конкретное число нельзя; можно разобрать порядок измерения.

1. Положи линейку рядом с отрезком так, чтобы отметка 0 совпала с его началом. Это важно: тогда отсчёт сразу начинается с нуля.
2. Найди штрих напротив второго конца отрезка. Прочитай число и единицу на шкале, а если конец находится между сантиметровыми штрихами, посчитай миллиметры.
3. Запиши показание вместе с единицей длины. Если конец совпал, например, с отметкой 6 см, длина равна 6 см; для конкретного отрезка ответ определяется его концом.

Ответ: без изображения или указания положения второго конца числовую длину определить нельзя. Измерять нужно от нулевой отметки до второго конца отрезка.

Перевод и сравнение длин

Условие: выразите 4 м 7 см в сантиметрах и сравните полученную длину с 450 см. Удобно сразу выбрать сантиметры, потому что в них уже дана вторая длина. Переведём метры, сохраним добавленные сантиметры и затем сравним числа с одинаковой единицей.

1. В одном метре 100 см, значит, 4 м = 4 × 100 = 400 см.
2. Прибавь оставшиеся 7 см: 400 см + 7 см = 407 см.
3. Теперь сравни 407 см и 450 см. Сотни совпадают, но десятков в 450 больше, поэтому 407 см < 450 см.
4. Чтобы узнать разницу, вычти меньшую длину из большей: 450 − 407 = 43 см.

Ответ: 4 м 7 см = 407 см; это меньше 450 см на 43 см. Сначала перевод в сантиметры позволил сравнить обе длины без смешения единиц.

Вычитание составных длин

Условие: длина одного отрезка равна 3 см 8 мм, другого — 42 мм. Нужно узнать, на сколько миллиметров первый отрезок длиннее. Обе длины удобнее выразить в миллиметрах, поскольку вторая уже записана в этой единице. После перевода останется выполнить обычное вычитание.

1. В одном сантиметре 10 мм, значит, 3 см = 30 мм.
2. Добавь 8 мм: 3 см 8 мм = 30 мм + 8 мм = 38 мм.
3. Вычти длину второго отрезка: 38 мм − 42 мм = −4 мм. Отрицательная разность показывает, что первый отрезок не длиннее, а короче второго на 4 мм.

Ответ: первый отрезок не длиннее второго; второй длиннее на 4 мм. По данным условия вопрос о том, на сколько миллиметров первый отрезок длиннее, содержит неточность: 38 мм меньше 42 мм.

Типичные ошибки

Начинают отсчёт от края линейки, а не от отметки 0. Край пластмассы может не совпадать с нулевой отметкой, поэтому измерение получится неверным. Такая ошибка возникает, когда линейку принимают за часть измерительной шкалы; проверь себя, найдя именно штрих с числом 0.

Считают штрихи вместо промежутков между ними. Штрихи только отмечают границы, а единицы длины — это расстояния между соседними отметками. Ошибка особенно вероятна, если начать считать с первого штриха; для проверки посмотри, сколько промежутков помещается от 0 до выбранной отметки.

Складывают или сравнивают числа в разных единицах без перевода. Например, нельзя напрямую сопоставить 4 м и 50 см только по числам 4 и 50: числа относятся к разным единицам. Сначала запиши обе длины в сантиметрах или метрах, а затем сравни; обозначения единиц должны совпадать.

Путают соотношения единиц и, например, считают, что в метре 10 сантиметров. Так происходит, если запомнить соседние переходы, но не проверить всю цепочку. Вспомни, что 1 м = 10 дм, а 1 дм = 10 см, значит, 1 м = 100 см; такой проверкой можно обнаружить ошибку в переводе.

Связь с другими темами

Чтобы измерять длину, нужно узнавать отрезок, находить его концы и уметь пользоваться линейкой. Если начало отрезка не совпадает с нулём, понадобится сравнить показания у обоих концов. Эти умения помогают перейти от рисунка к числовым данным и аккуратно записывать результат.

Измерение длины пригодится при изучении периметра — общей длины границы фигуры, — а также при построении геометрических фигур. Оно помогает решать задачи о расстояниях и проверять, подходят ли заданные размеры. Во всех таких случаях важно записывать единицы и при вычислениях приводить длины к одной из них.

Что запомнить

• Длину отрезка определяют сравнением с выбранной единицей.
• При измерении линейкой начало отрезка совмещают с отметкой 0.
• Единица длины показывает, в чём выражено измерение.
• В одном сантиметре 10 миллиметров.
• В одном метре 100 сантиметров.
• Перед сравнением длин, записанных в разных единицах, их переводят в одну единицу.