"Математика. Наглядная геометрия", Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н.
Площадь показывает, сколько места занимает плоская фигура, а объём — сколько места занимает тело. Чтобы измерить их, фигуру покрывают одинаковыми квадратами, а тело заполняют одинаковыми кубами. Размер выбранного квадрата или куба задаёт единицу измерения: например, квадратный сантиметр или кубический метр. При переводе единиц площади коэффициент длины возводят в квадрат, а при переводе единиц объёма — в куб.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь — величина, которая показывает, сколько места занимает плоская фигура. Её измеряют, сравнивая с выбранной единицей площади: выясняют, сколько таких единиц помещается внутри фигуры. Это помогает сравнивать размеры поверхностей и решать, например, сколько места займёт ковёр.
Единица площади — площадь квадрата с заданной длиной стороны. Например, 1 см² — площадь квадрата со стороной 1 см, а 1 м² — площадь квадрата со стороной 1 м. Маленькие квадратные единицы удобны для небольших предметов, большие — для комнат и участков.
Объём — величина, которая показывает, сколько места занимает тело. Его измеряют сравнением с выбранной единицей объёма: определяют, сколько раз эта единица содержится в теле. Объём нужен, например, чтобы узнать, сколько воды помещается в сосуд.
Единица объёма — объём куба с заданной длиной ребра. Куб со стороной 1 см имеет объём 1 см³, а куб со стороной 1 м — 1 м³. Кубические сантиметры подходят для небольших тел, а кубические метры — для крупных помещений и грузов.
Чтобы измерить площадь, фигуру мысленно или на деле покрывают одинаковыми квадратами. Квадраты должны лежать без промежутков и не накладываться друг на друга, иначе часть поверхности останется неучтённой или будет посчитана дважды. Если каждый квадрат принят за одну единицу, общее число квадратов и есть площадь фигуры в этих единицах. Поэтому площадь зависит от того, какую единицу выбрали.
При переходе от квадратных метров к квадратным сантиметрам множитель становится квадратом перевода длины. В одном метре 100 сантиметров, а квадрат со стороной 1 м разбивается на 100 рядов по 100 маленьких квадратов. В каждом таком квадрате сторона равна 1 см, значит, всего их 100 × 100 = 10 000. Поэтому 1 м² = 10 000 см², а не 100 см².
Объём измеряют, заполняя тело одинаковыми кубами. Кубики должны плотно занимать всё пространство: пустоты означали бы, что часть объёма не измерена. Если единицей служит куб объёмом 1 см³, нужно сосчитать, сколько таких кубиков помещается в теле. Это число показывает объём в кубических сантиметрах.
При переходе между кубическими единицами коэффициент длины возводят в куб, потому что кубик имеет три измерения: длину, ширину и высоту. Например, ребро 1 дм содержит 10 отрезков по 1 см. Значит, куб с ребром 1 дм можно заполнить 10 × 10 × 10 маленькими кубиками объёмом 1 см³. Поэтому 1 дм³ = 1000 см³.
Если фигура или тело состоит из нескольких простых частей, его можно разделить на эти части. Сначала измеряют площадь каждой части или объём каждого тела в одинаковых единицах, а затем складывают результаты. Такой способ работает, если части не накладываются друг на друга и вместе составляют всё исходное изображение или тело. Например, для составной площадки удобно найти площади отдельных прямоугольников.
| Что сравниваем | Площадь | Объём |
|---|---|---|
| Что измеряют | Место внутри плоской фигуры | Место, занимаемое телом |
| Единица измерения | Квадрат с заданной стороной | Куб с заданным ребром |
| Пример единицы | см², м² | см³, м³ |
| Как считают число единиц | Считают квадраты, покрывающие фигуру | Считают кубы, заполняющие тело |
| Переход к меньшим единицам | Коэффициент длины возводят в квадрат | Коэффициент длины возводят в куб |
Сначала определите, что именно требуется измерить: плоскую фигуру или объёмное тело. Затем выберите соответствующую единицу — квадратную или кубическую. При переводе единиц учитывайте, что площадь связана с двумя измерениями, а объём — с тремя.
Нужно перевести квадратные дециметры в квадратные сантиметры. Сначала переведём одну сторону: в 1 дм содержится 10 см. Так как площадь относится к квадрату, число 10 нужно использовать для двух сторон.
Ответ: 3 дм² = 300 см².
Площадка прямоугольная, поэтому площадь равна произведению длины на ширину. Сначала получим ответ в квадратных метрах, поскольку обе стороны заданы в метрах. Затем переведём результат в квадратные дециметры: в одном метре 10 дециметров, а площадь зависит от двух сторон.
Ответ: 4000 дм².
Коробка имеет форму прямоугольного тела. Сначала найдём её объём в кубических дециметрах, перемножив три измерения. Потом переведём дм³ в см³: каждое ребро длиной 1 дм содержит 10 отрезков по 1 см, поэтому для объёма множитель равен 10 × 10 × 10 = 1000.
Ответ: 24 000 кубиков.
При переводе квадратных единиц иногда используют тот же множитель, что и для длины: например, умножают на 10 вместо 100 при переводе дм² в см². Так происходит, если учесть только одну сторону квадрата. Проверь себя: площадь имеет два измерения, поэтому коэффициент длины нужно умножить сам на себя.
При переводе кубических единиц можно ошибочно применить линейный или квадратный множитель. Причина та же: легко забыть, что у куба три измерения. Для проверки запиши перевод как произведение трёх одинаковых коэффициентов, например 1 дм³ = 10 × 10 × 10 см³.
Ещё одна ошибка — записать площадь в сантиметрах, а объём в квадратных или линейных единицах. Так случается, когда число вычислено верно, но единицу выбирают по знакомому измерению. Проверь обозначение: у площади единица квадратная, например см², а у объёма кубическая, например см³.
Нельзя находить площадь сложением длин сторон: так получают периметр, а не площадь. Похожая путаница возникает между площадью и объёмом, хотя первая относится к плоской фигуре, а второй — к телу. Перед вычислением спроси себя, что нужно узнать, и выбери способ подсчёта квадратов, кубов или длины границы.
Для перевода единиц площади и объёма нужно знать единицы длины и уметь переходить между ними. Также пригодятся понятия квадрата и куба: квадрат помогает представить единицу площади, а куб — единицу объёма. Площадь прямоугольника находят умножением его сторон, а объём прямоугольного тела — произведением трёх измерений.
Эти знания применяют, когда находят площадь составной фигуры или объём тела, собранного из простых частей. Они нужны и в практических задачах: например, при расчёте количества покрытия для пола или вместимости коробки. Правильный выбор единиц помогает проверить, разумен ли полученный ответ.
Почему площадь измеряют квадратными единицами?
Площадь находят, покрывая фигуру одинаковыми квадратами без промежутков и наложений. Поэтому единицей площади служит площадь квадрата, например 1 см².
Чем площадь отличается от периметра?
Площадь показывает, сколько места занимает фигура внутри границы. Периметр — это длина границы фигуры, то есть сумма длин её сторон.
Почему 1 м² — это 10 000 см², а не 100 см²?
В одном метре 100 сантиметров. Квадрат со стороной 1 м разбивается на 100 рядов по 100 квадратов со стороной 1 см, поэтому 1 м² = 100 × 100 = 10 000 см².
Почему объём выражают в кубических единицах?
Тело заполняют одинаковыми кубами, поэтому объём показывает число таких кубов. Куб со стороной 1 см имеет объём 1 см³.
Как перевести кубические метры в кубические сантиметры?
Сначала учти, что 1 м = 100 см, затем возведи коэффициент в куб: 1 м³ = 100 × 100 × 100 = 1 000 000 см³. Значит, число кубических метров при переводе в кубические сантиметры умножают на 1 000 000.
11. Измерение площади и объема
