16. Задачи со спичками

Определения и обозначения

Спичка — единичный отрезок, из которого составляют фигуры и числа. В задаче важно учитывать каждый отрезок отдельно, потому что разрешённое количество спичек ограничивает возможный результат. Одинаковая длина помогает сравнивать стороны фигур.

Фигура из спичек — плоская фигура, стороны которой образованы спичками. Нужно отличать саму фигуру от способа её составления: одинаковую форму иногда можно получить разным расположением отрезков. Это различие помогает не путать число фигур и число использованных спичек.

Перекладывание спички — перемещение одной спички на новое место без изменения её длины и без добавления или удаления спичек. Обычно её можно повернуть, но нельзя сломать или укоротить. Такое правило позволяет менять рисунок, сохраняя количество отрезков.

Условие задачи со спичками — требования к исходной фигуре и результату. В нём нужно выяснить, что разрешено менять и что должно остаться неизменным. Если не проверить условие заранее, можно получить красивый рисунок, который не является решением.

Как это устроено

Чтобы представить рисунок как набор отдельных спичек, сначала посчитай все отрезки, а затем отметь, как они лежат: отдельно, рядом или под углом. Удобно мысленно пройти рисунок по каждой стороне и не перескакивать на уже посчитанные спички. Так становится ясно, сколько отрезков есть на самом деле и какие части рисунка могут измениться.

Когда несколько фигур соприкасаются, одна спичка может быть общей стороной. Она остаётся одним отрезком, даже если входит в описание обеих фигур: в геометрическом счёте это сторона каждой фигуры, а в счёте спичек — один предмет. Поэтому считай сначала сами отрезки на рисунке, а затем отдельно определяй, сколько фигур они образуют.

Перемещение меняет положение спички, поэтому могут измениться контур, количество фигур или запись числа. Но сама спичка остаётся той же длины, и число используемых отрезков сохраняется. Например, при работе с римской записью одна и та же спичка может стать частью другого числа или знака, поэтому нужно заново прочитать всю запись.

Перебирать варианты проще, если сначала выделить места, где изменение способно повлиять на рисунок: углы, общие стороны, части чисел и знаков равенства. Выбери спичку и мысленно перенеси её в возможное место, затем проверь результат по условию. Варианты, где нарушено число перемещений или изменилось то, что должно было сохраниться, сразу отбрасывай.

Найденное решение нужно обосновать, потому что рисунок может выглядеть подходящим, хотя какое-то требование не выполнено. Пересчитай спички, назови получившиеся фигуры или прочитай запись числа и проверь результат. Если условие требует переместить одну спичку, должно быть понятно, какая именно спичка передвинута и что остальные остались на месте.

Приёмы решения задач со спичками

Сначала найди в таблице ситуацию, похожую на условие задачи, а затем используй соответствующую проверку. Приём помогает не пропустить ограничение, но не заменяет проверку всего результата. Если задача требует все решения, перебор должен охватить разные варианты, а не только первый удачный.

Разбор задач

В примерах важно не только искать перестановку, но и проверять, выполнимо ли условие при заданном числе спичек. Если число отрезков не позволяет получить требуемые фигуры, нельзя придумывать рисунок, который нарушает исходные правила. Ниже разберём условия именно так: сначала уточним состав фигур, затем проверим возможность результата.

Задача 1. Два квадрата из четырёх спичек

Условие: из четырёх спичек составлена квадратная рамка; нужно переложить одну так, чтобы получилось два квадрата. Предполагается, что сторона квадрата состоит из одной спички, а фигуры плоские. При таких правилах задача не имеет решения: четырёх отрезков недостаточно для двух разных квадратов.

1. У одного квадрата четыре стороны, значит, ему нужны четыре спички.
2. Для двух квадратов нужны восемь сторон. Если квадраты имеют одну общую сторону, эта спичка считается для обоих контуров, поэтому всего потребуется как минимум семь разных спичек.
3. Перекладывание не меняет число отрезков: их остаётся четыре. Следовательно, получить два разных квадрата нельзя.

Ответ: при обычных правилах решения нет; вероятно, в условии не хватает уточнения или изменено число спичек. Проверка числа отрезков обнаруживает это до перебора положений.

Задача 2. Треугольник и шесть спичек

Условие говорит о треугольнике с одной спичкой на каждой стороне, но одновременно утверждает, что использовано шесть спичек. Эти сведения противоречат друг другу: такой треугольник состоит из трёх спичек. Поэтому нельзя честно показать единственное перекладывание, не решив сначала, как именно были расположены оставшиеся отрезки.

1. Посчитай стороны: у треугольника их три.
2. Если на каждой стороне лежит по одной спичке, весь контур составлен из трёх спичек, а не шести.
3. Если имелись в виду две спички на каждой стороне, это уже другое исходное условие; нужно заново выяснить, какой треугольник и какие перемещения разрешены.
4. Без точного исходного расположения проверь, нельзя ли получить дополнительные треугольники, невозможно: неизвестно, где лежат все шесть отрезков.

Ответ: условие требует уточнения. Чтобы решить задачу, нужно указать, как используются все шесть спичек; иначе возможные результаты нельзя определить однозначно.

Задача 3. Римское равенство VI = IV

Условие: в записи VI = IV требуется переложить одну спичку так, чтобы равенство стало верным. Рассматривай каждую букву как часть числа, а знак равенства — как отдельный знак из спичек. Однако для точного решения важно знать, можно ли перемещать спичку между числами и разрешено ли менять знак равенства.

1. Прочитай исходные числа: VI — это 6, а IV — 4, значит, запись неверна.
2. Выбери спичку и проверь, меняет ли её перенос римскую запись числа или знак.
3. Для каждого полученного варианта заново прочитай обе части и сравни значения.
4. Если после переноса равенство всё ещё неверно или знак перестал быть знаком равенства, вариант не подходит.

Ответ: в приведённом условии не заданы правила, по которым составляются знаки и разрешается менять равенство, поэтому однозначный перенос нельзя обосновать. Нужно уточнить правила записи; затем решение проверяется чтением получившегося равенства, а не одним лишь внешним сходством символов.

Типичные ошибки

Общую сторону двух фигур иногда считают дважды, потому что при описании каждой фигуры её называют отдельной стороной. Но физически на рисунке лежит только одна спичка. Проверь себя так: пересчитай видимые отрезки, а затем отдельно перечисли стороны каждой фигуры.

Некоторые незаметно поворачивают спичку с изменением длины или представляют её укороченной. Так рисунок может дать нужную форму, но перестаёт соответствовать условию о целых спичках. Проверь, что каждый отрезок остался той же длины и не был разделён или заменён.

Решение может выглядеть правильным, хотя перемещено больше спичек, чем разрешено, или нарушено другое требование. Эту ошибку допускают, когда сосредотачиваются только на конечной картинке. Восстанови действие по шагам: назови перемещённую спичку и проверь, что остальные ограничения выполнены.

Остановиться на первом варианте недостаточно, если просят найти все решения. Первая удачная перестановка может заслонить другие места, куда можно перенести спичку. Составь список возможных переносов и отметь, какие из них проверены; так станет видно, завершён ли перебор.

Связь с другими темами

Для решения задач со спичками полезно распознавать плоские фигуры, называть их и считать стороны и вершины. Эти умения помогают понять, какие контуры образуют отрезки и не возникла ли лишняя фигура. Составление и перекладывание развивает пространственное воображение: нужно представить результат до того, как менять рисунок. Оно пригодится при геометрических построениях и решении нестандартных задач.

Что запомнить

• Спичка в задаче — отрезок фиксированной длины.
• Сначала выясни, что именно разрешено менять.
• Общая сторона фигур — одна спичка, а не две.
• При перекладывании сохраняй длину спички.
• Проверяй все условия после каждого изменения.
• Решение нужно не только найти, но и обосновать.