"Математика. Наглядная геометрия", Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н.
Фигурки из кубиков — это объёмные конструкции, составленные из одинаковых кубиков, соприкасающихся гранями. Их изучение помогает научиться считать невидимые кубики, представлять расположение частей в пространстве и читать плоские изображения объёмных тел. Для этого фигурку рассматривают по слоям, рядам и столбцам, а также сравнивают её виды спереди, сверху и сбоку. Части куба распознают по тому, как исходный куб был разделён.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Кубик — пространственное тело с шестью квадратными гранями, двенадцатью рёбрами и восемью вершинами. Грань — плоская сторона тела, ребро — линия встречи двух граней, а вершина — точка, где сходятся рёбра. Кубик служит удобной меркой: из одинаковых таких тел можно составлять и сравнивать объёмные фигурки.
Фигурка из кубиков — пространственная фигура, составленная из одинаковых кубиков, соединённых гранями. Это значит, что кубики соприкасаются целыми квадратными сторонами, а не только ребром или вершиной. Такое определение помогает понять, какие элементы образуют единую конструкцию, и аккуратно подсчитать их.
Часть кубика — тело, полученное делением кубика плоскостью или несколькими плоскостями. Например, плоскость может разделить куб на две части, а несколько плоскостей — на большее число частей. Это понятие нужно, чтобы узнавать форму получившихся тел и мысленно собирать из них новую фигурку.
Вид фигурки — её изображение с определённой стороны: спереди, сверху или сбоку. На каждом виде одни размеры заметны, а другие могут быть скрыты. Сравнивая изображения с разных направлений, можно точнее представить расположение кубиков.
Одинаковые кубики складывают так, чтобы некоторые их грани прилегали друг к другу. Соприкасающиеся квадратные грани образуют ровное соединение, поэтому кубики занимают соседние места в конструкции. Если же тела касаются только рёбрами или вершинами, между ними нет общей грани, и такое касание нельзя принимать за обычное соединение кубиков в фигурке. Это различие помогает правильно читать условие задачи и саму конструкцию.
Чтобы определить число кубиков, фигурку мысленно делят на слои, ряды или столбцы. Эти группы удобно считать по очереди: например, сначала нижний слой, затем следующий над ним. Если слой сложной формы, его разбивают на ряды и складывают количества в рядах. Такой способ надёжнее подсчёта на глаз, потому что каждая группа рассматривается отдельно и меньше риск пропустить кубик.
Часть кубиков на рисунке закрыта теми, что находятся впереди или выше. Скрытый кубик всё равно занимает место в конструкции: он может поддерживать верхние кубики или продолжать ряд в глубину. Чтобы его обнаружить, полезно проверить, что должно находиться под каждым видимым кубиком, и мысленно пройти фигурку от переднего края к заднему. Затем результат сравнивают с видом сверху или сбоку.
Куб можно мысленно разделить плоскостью или несколькими плоскостями, как разрезают предмет по ровной линии, проходящей через него. Форма каждой полученной части зависит от направления и места разреза: у неё могут быть квадратные или прямоугольные грани, а иногда и грани другой формы. Поэтому при распознавании части важно смотреть не только на её общий силуэт, но и на размеры и расположение граней. Так можно понять, как часть соотносится с исходным кубом.
На плоском листе объёмную конструкцию показывают с разных направлений. Вид спереди помогает увидеть ширину и высоту, вид сверху — ширину и глубину, а вид сбоку — глубину и высоту. Одна фигурка получает разные изображения, потому что при смене направления наблюдения одни грани оказываются ближе, другие закрываются, а расстояние в одном направлении перестаёт быть заметным. Несколько видов дополняют друг друга и дают более полное представление о конструкции.
| Объект или способ изображения | Что показывает | Как использовать при решении задачи |
|---|---|---|
| Один кубик | Основной элемент фигурки с квадратными гранями | Считать им составные части конструкции |
| Состав фигурки по слоям | Расположение кубиков один над другим | Подсчитать каждый слой отдельно и сложить |
| Кубики, видимые и скрытые | Что видно с выбранной стороны и что закрыто | Проверить опоры, ряды и внутренние места |
| Вид спереди | Ширину и высоту фигурки | Сравнить высоту столбцов на переднем изображении |
| Вид сверху | Расположение по ширине и глубине | Установить, где стоят кубики в плане |
| Вид сбоку | Глубину и высоту фигурки | Проверить ряды, скрытые спереди |
| Часть кубика | Форму тела после деления куба | Сопоставить грани с возможными плоскостями разделения |
Сначала выбери способ, который лучше всего отвечает на вопрос: для подсчёта подходят слои и ряды, а для определения расположения — несколько видов. Если изображение не показывает часть фигурки, не делай вывод, что там пусто: проверь другие направления и возможные опоры. Таблица напоминает, какую информацию даёт каждый способ и чего он сам по себе не показывает.
Фигурка состоит из двух рядов: в нижнем ряду 4 кубика, а в верхнем — 3. Сколько всего кубиков в фигурке? Ряды не перекрываются по счёту: каждый кубик относится к одному из них. Поэтому можно найти общее количество сложением.
Ответ: 7 кубиков.
По изображениям фигурки спереди и сверху нужно определить, сколько кубиков находится в каждом столбце и сколько их всего. Рассмотрим случай, когда вид сверху показывает три места в одном ряду, а вид спереди показывает высоты столбцов над ними: 2, 1 и 3 кубика. Вид сверху подтверждает, что все три места заняты и что за ними нет дополнительных рядов в глубину.
Ответ: в столбцах 2, 1 и 3 кубика; всего 6 кубиков. Если вид сверху показывает несколько рядов в глубину, одного этого подсчёта недостаточно: нужно также выяснить высоту столбцов в каждом ряду.
Из большого куба мысленно вырезали восемь одинаковых частей и нужно собрать из них кубическую фигурку. Представим, что исходный куб разделили двумя плоскостями в одном направлении, двумя — в другом и ещё двумя — в третьем, так что каждый разрез проходит посередине. Получатся восемь одинаковых маленьких кубиков. Из них можно собрать куб размером два маленьких кубика по каждому направлению.
Ответ: из восьми одинаковых частей-кубиков можно собрать куб 2 на 2 на 2. Если грани частей имеют иную форму, перед сборкой нужно заново проверить, какими плоскостями был разделён исходный куб.
Можно посчитать только те кубики, которые видны на рисунке, и забыть о закрытых. Так происходит, потому что плоское изображение показывает конструкцию лишь с одного направления, а передние кубики заслоняют задние. Проверь, поддерживает ли видимый кубик другие кубики и продолжается ли ряд за ним. Сверь подсчёт с видом сверху или сбоку, если он дан.
Иногда вид сверху принимают за вид спереди и по нему пытаются определить высоту. Ошибка возникает потому, что оба изображения показывают расположение частей, но отвечают на разные вопросы. У вида спереди видны ширина и высота, у вида сверху — ширина и глубина. Перед подсчётом подпиши, какие два направления показывает каждое изображение.
Соприкосновение кубиков рёбрами или вершинами можно ошибочно принять за такое же соединение, как соприкосновение гранями. На схематичном рисунке промежутки между телами бывают плохо заметны, поэтому кажется, что все близкие элементы соединены. Проверь, есть ли у пары общая квадратная грань. Если общей грани нет, считай кубики отдельно и не называй их соединёнными гранями.
Изображённую часть кубика иногда считают произвольным многогранником, не проверяя, как её получили. Этому способствует то, что на рисунке виден только внешний силуэт, а линии разреза не показаны. Восстанови возможные плоскости, которыми разделили исходный куб, и проверь форму каждой грани части. Если полученные грани не согласуются с таким делением, выбранное объяснение неверно.
Для работы с фигурками нужно знать элементы куба: грани, рёбра и вершины. Полезно также уметь группировать предметы и считать их по рядам или слоям. Эти знания помогают видеть строение объёмной конструкции, а не только её внешний контур.
Рассматривание фигурок развивает пространственное воображение и учит читать плоские изображения объёмных тел. Сравнение видов помогает мысленно поворачивать конструкцию и замечать то, что не видно с одной стороны. Это умение понадобится при изучении геометрических тел и их изображений.
Позже такие приёмы пригодятся при изучении объёмов, развёрток и сечений, а также при построении моделей геометрических тел. Подсчёт кубиков связывает число частей с устройством целого тела. Умение представлять разрезы помогает понять, откуда взялись грани и форма его частей.
Как посчитать кубики, которые не видны на рисунке?
Раздели фигурку на слои, ряды или столбцы и посчитай кубики в каждом. Сравни несколько видов фигурки: один вид может показать расположение, которое скрыто на другом. Затем сложи количества, не считая один кубик дважды.
Чем вид сверху отличается от вида спереди?
Вид спереди показывает ширину и высоту фигурки, но не её глубину. Вид сверху показывает расположение кубиков по ширине и глубине, но не показывает их высоту.
Можно ли считать кубики, соприкасающиеся только рёбрами?
Их можно посчитать как отдельные кубики, если они входят в изображённую конструкцию. Но соприкосновение только рёбрами не соединяет их гранями, поэтому такую пару нельзя считать соединённой обычным способом составления фигурки из кубиков.
Как понять, какой частью куба является изображённое тело?
Представь, какими плоскостями можно разделить исходный куб, чтобы получить это тело. Проверь форму и размеры его граней: они должны соответствовать получившимся участкам куба. Если способ деления неизвестен, одного внешнего вида иногда недостаточно для точного ответа.
Почему по одному виду иногда нельзя однозначно восстановить фигурку?
При взгляде с одной стороны часть кубиков закрывается другими. Кроме того, вид показывает только два направления, а глубина или высота могут оставаться неизвестными. Поэтому для восстановления фигурки полезно сравнить виды с нескольких сторон.
19. Фигурки из кубиков и их частей
