20. Параллельность и перпендикулярность

Определения и обозначения

Параллельные прямые — это прямые на плоскости, которые не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Их обозначают так: a ∥ b. Это правило помогает понять, что прямые останутся раздельными не только на видимом участке чертежа, но и при продолжении.

Перпендикулярные прямые — это прямые, которые пересекаются под прямым углом. Обозначение a ⟂ b означает, что прямые a и b перпендикулярны. Такое обозначение позволяет сразу показать на чертеже особое положение прямых, а не просто факт их пересечения.

Прямой угол равен четверти полного угла; именно такой угол образуют перпендикулярные прямые. Его часто отмечают маленьким квадратиком. Это помогает отличить прямой угол от других углов, которые тоже могут получиться при пересечении прямых.

Как это устроено

Чтобы выяснить, пересекутся ли две прямые, надо учитывать не только нарисованные части, но и их продолжения. На листе прямые обычно показаны короткими отрезками, поэтому их пересечение может оказаться за краем рисунка. Если мысленно продолжить обе прямые и общей точки всё равно не будет, они параллельны. Если же продолжения встретятся, считать такие прямые параллельными нельзя.

Само по себе пересечение не делает прямые перпендикулярными. Представь две прямые, которые встретились под острым или тупым углом: они пересекаются, но прямого угла не образуют. Чтобы назвать прямые перпендикулярными, нужно проверить, что угол между ними прямой. На чертеже это можно увидеть по квадратику или проверить угольником.

Если две прямые пересеклись под прямым углом, все четыре угла у точки пересечения тоже прямые. При пересечении образуются две пары противоположных углов, а углы рядом составляют вместе развёрнутый угол. Если один угол равен 90°, соседний угол тоже равен 90°, потому что 180° − 90° = 90°. Так получаются четыре прямых угла.

Параллельность и перпендикулярность можно распознавать по взаимному расположению прямых, а не только по тому, насколько точно они нарисованы. Чертёж иногда выполнен не идеально, поэтому полезно читать условные знаки и обозначения. Запись a ∥ b сообщает о параллельности, а запись a ⟂ b — о перпендикулярности. Эти знаки помогают кратко и однозначно описывать чертёж.

На чертеже параллельные прямые часто помечают одинаковыми штрихами, а прямой угол — маленьким квадратиком. Одинаковые штрихи показывают, что отмеченные линии параллельны друг другу, даже если они имеют разную длину. Квадратик ставят именно внутри прямого угла, а не просто возле точки пересечения. Такие отметки позволяют не перепутать заданное свойство с тем, что лишь кажется верным по рисунку.

Сравнение параллельных и перпендикулярных прямых

Сначала посмотри, пересекаются ли прямые, если их продолжить, а затем проверь угол в точке пересечения. Для записи используй знак, который соответствует найденному свойству: ∥ для параллельности, ⟂ для перпендикулярности. Условные отметки на чертеже помогают быстро увидеть, какие свойства заданы.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображены прямые a и b. Определи, параллельны ли они, если при продолжении они не пересекаются. Нужно проверить именно прямые, а не только видимые куски линий. Затем результат можно записать с помощью специального знака.

1. Мысленно продолжим прямые a и b в обе стороны.
2. По условию их продолжения не встречаются, значит, у прямых нет общей точки.
3. По определению такие прямые параллельны, поэтому записываем a ∥ b.

Ответ: прямые a и b параллельны; a ∥ b. Вывод основан на отсутствии пересечения при продолжении, а не на том, что линии выглядят похожими на рисунке.

Задача 2. Прямые m и n пересекаются. Один из образовавшихся углов равен 90°. Определи, как расположены прямые, и назови величины остальных углов. Сначала применим определение перпендикулярности, а потом разберём углы, которые получаются при пересечении.

1. Один угол равен 90°, значит, прямые пересекаются под прямым углом.
2. Следовательно, прямые m и n перпендикулярны, что записывают как m ⟂ n.
3. Соседний с прямым углом составляет с ним 180°, поэтому он равен 180° − 90° = 90°.
4. Противоположный угол равен данному, а оставшийся соседний тоже равен 90°. Значит, все четыре угла прямые.

Ответ: m ⟂ n; остальные углы равны 90°. Здесь прямой угол служит признаком перпендикулярности, а остальные значения следуют из свойств углов при пересечении.

Задача 3. Начерти прямую a, отметь точку вне неё и проведи через эту точку прямую, перпендикулярную a. Обозначь прямые и отметь прямой угол. Угольник позволит построить прямую под нужным углом и проверить результат.

1. Проведи линейкой прямую a и поставь рядом с ней точку, не лежащую на прямой.
2. Приложи один край прямого угла угольника к прямой a и передвинь его так, чтобы другой край проходил через отмеченную точку.
3. Проведи по этому краю вторую прямую и назови её, например, b.
4. Проверь, что края угольника совпадают с обеими прямыми, затем поставь квадратик у угла пересечения и запиши a ⟂ b.

Ответ: построена прямая b, проходящая через точку, причём a ⟂ b. Если квадратик оказался у точки пересечения, он отмечает прямой угол и показывает результат проверки.

Типичные ошибки

Ошибка: считать прямые параллельными, потому что на коротком участке рисунка они не пересекаются. Так можно ошибиться: продолжения прямых могут встретиться за пределами изображённого участка. Проверь себя, мысленно продлив обе прямые в обе стороны; параллельными они будут лишь тогда, когда общей точки нет.

Ошибка: называть любые пересекающиеся прямые перпендикулярными. Часто так говорят, потому что замечают пересечение, но не проверяют угол. Используй угольник или отметку прямого угла: если угол не прямой, прямые не перпендикулярны.

Ошибка: путать прямые с отрезками и делать вывод только по отрезкам. Отрезки могут не пересекаться на рисунке, хотя прямые, на которых они лежат, пересекутся при продолжении. Для проверки продолжи линии мысленно за концы отрезков и смотри на всё направление прямых.

Ошибка: записывать знаки ∥ и ⟂ наоборот. Их легко перепутать, если запоминать только внешний вид символа. Сверь запись со смыслом: ∥ означает «не пересекаются», а ⟂ — «пересекаются под прямым углом»; при необходимости нарисуй маленькую схему.

Связь с другими темами

Для работы с этой темой нужно уметь находить прямые и углы на чертеже, пользоваться линейкой и чертёжным угольником. Эти инструменты помогают проводить линии и проверять, образуют ли они прямой угол. Параллельность и перпендикулярность нужны, когда описывают расположение сторон геометрических фигур. С их помощью можно строить прямоугольники и другие фигуры, проверяя направления их сторон.

Что запомнить

• Параллельные прямые не пересекаются даже при продолжении.
• Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом.
• Параллельность обозначают знаком ∥.
• Перпендикулярность обозначают знаком ⟂.
• При пересечении перпендикулярных прямых образуются четыре прямых угла.
• На чертеже прямой угол часто отмечают квадратиком.