"Математика. Наглядная геометрия", Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н.
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого обе пары противоположных сторон параллельны. Это определение помогает отличить его от других четырёхугольников, а свойства параллелограмма упрощают решение задач: противоположные стороны и углы равны, соседние углы в сумме дают 180°. Если провести диагональ, фигура разделится на два равных треугольника. Эти факты выводятся из параллельности сторон и пригодятся при изучении других фигур и их площадей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Например, если ABCD — параллелограмм, то AB параллельна CD, а BC параллельна AD. Чтобы распознать такую фигуру, нужно проверить обе пары сторон. Если параллельна только одна пара, этого недостаточно.
Противоположные стороны — стороны четырёхугольника, у которых нет общей вершины. В параллелограмме ABCD это стороны AB и CD, а также BC и AD. На чертеже каждую сторону обозначают буквами её концов, поэтому легко проверить, какие стороны лежат напротив друг друга. Такое обозначение помогает не перепутать противоположные стороны с соседними.
Противоположные углы параллелограмма расположены при вершинах, которые не соединены одной стороной. В ABCD это углы A и C, а также углы B и D. Угол называют по букве его вершины, иногда записывают знак ∠ перед буквой. Эти пары понадобятся, когда мы будем сравнивать углы и находить их величины.
Распознать параллелограмм помогает его определение: у него должны быть параллельны обе пары противоположных сторон. Поэтому для четырёхугольника ABCD проверяют отдельно, параллельны ли AB и CD, а затем — BC и AD. Если выполнены оба условия, перед нами параллелограмм. Одна пара параллельных сторон ещё не позволяет сделать такой вывод.
Чтобы объяснить равенство противоположных сторон, проведём диагональ AC. Она образует треугольники ABC и CDA. Так как AB параллельна CD, углы BAC и ACD равны; из параллельности BC и AD равны углы BCA и CAD. Сторона AC у треугольников общая, поэтому треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, а значит, AB = CD и BC = AD.
Свойства углов тоже следуют из параллельности сторон. Если стороны AB и CD параллельны, диагональ AC пересекает их и образует равные накрест лежащие углы; аналогично работают пары BC и AD. Так получаем равенство противоположных углов. Соседние углы составляют 180°, потому что при пересечении параллельных прямых секущей они являются внутренними односторонними углами.
Любая диагональ делит параллелограмм на два треугольника. Например, диагональ AC образует ABC и CDA, и доказательство их равенства показывает, что у них равны соответствующие стороны и углы. Отсюда следуют равенства противоположных сторон параллелограмма. При этом диагональ сама становится общей стороной двух треугольников.
Чертёж может быть нарисован неточно: параллельные стороны на нём иногда выглядят наклонёнными, а равные стороны — разными. Поэтому нельзя решать, что стороны параллельны или равны, только по их виду. Свойства параллелограмма доказывают с помощью определения и известных правил о параллельных прямых. Чертёж помогает увидеть задачу, но не заменяет доказательство.
| Что рассматриваем | Свойство | Почему это верно |
|---|---|---|
| Противоположные стороны | Они параллельны и равны. | Параллельность входит в определение; равенство следует из равенства треугольников, полученных диагональю. |
| Противоположные углы | Они равны. | Это следует из свойств углов при параллельных прямых. |
| Соседние углы | Их сумма равна 180°. | Это внутренние односторонние углы при параллельных прямых. |
| Диагональ и образованные ею треугольники | Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. | У треугольников равны углы при диагонали и есть общая сторона. |
Пользуйся таблицей как памяткой: сначала определи, какие стороны или углы рассматриваются, затем выбери нужное свойство. В последнем столбце указана причина, на которую можно сослаться в объяснении. Равенство всех четырёх сторон таблица не обещает.
В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны, а стороны BC и AD параллельны. Нужно определить, является ли ABCD параллелограммом. Сравним данные с определением, не полагаясь на форму чертежа.
Ответ: ABCD является параллелограммом.
Один угол параллелограмма равен 65°. Чтобы найти остальные, вспомним, что противоположные углы равны, а соседние в сумме дают 180°. Поэтому сначала найдём соседний угол, а затем противоположный данному. Проверим, что в итоге получатся две равные пары.
Ответ: углы равны 65°, 115°, 65° и 115°.
Диагональ AC параллелограмма ABCD делит его на треугольники ABC и CDA. Объясним, почему они равны, и укажем, что это даёт для сторон фигуры. Важно сравнить углы именно при диагонали: она пересекает две пары параллельных сторон.
Ответ: треугольники ABC и CDA равны, поэтому противоположные стороны параллелограмма равны.
Ошибка: назвать параллелограммом четырёхугольник, у которого параллельна только одна пара противоположных сторон. Так делают, если замечают одно подходящее свойство и не проверяют остальные стороны. По определению должны быть параллельны обе пары. Проверь отдельно AB с CD и BC с AD.
Ошибка: считать соседние углы равными. Обычно их величины разные, потому что они не противоположные, а расположены рядом. При этом сумма соседних углов параллелограмма равна 180°. Для проверки сложи найденные значения: например, 65° + 115° = 180°.
Ошибка: путать противоположные стороны с соседними. Соседние стороны имеют общую вершину, а противоположные — нет. Например, в ABCD стороны AB и BC соседние, а AB и CD противоположные. Проверь, соприкасаются ли стороны в одной вершине.
Ошибка: при вычислении углов забыть одно из двух правил — равенство противоположных углов и сумму соседних, равную 180°. Из-за этого можно получить четыре разных угла или неверно найти один из них. Начни с известного угла: противоположный ему равен, а каждый соседний дополняет его до 180°. Затем проверь, что сумма всех четырёх углов равна 360°.
Для изучения параллелограммов нужно знать, что такое четырёхугольник, сторона, вершина и угол, а также уметь читать буквенные обозначения фигур. Понадобится распознавать параллельные прямые и пользоваться свойствами углов, которые возникают при пересечении таких прямых секущей. Свойства параллелограмма пригодятся при изучении его частных видов, например прямоугольника и ромба. Они также помогают находить площади фигур и решать геометрические задачи.
Как определить, что четырёхугольник — параллелограмм?
Проверь, параллельны ли обе пары его противоположных сторон. Если да, четырёхугольник по определению является параллелограммом. Одной параллельной пары недостаточно.
Обязательно ли у параллелограмма равны все четыре стороны?
Нет, достаточно, чтобы равны были противоположные стороны: одна пара равна между собой, и другая тоже. Все четыре стороны равны только у некоторых параллелограммов, например у ромба.
Почему противоположные стороны параллелограмма равны?
Проведём диагональ: она разделит параллелограмм на два треугольника. Из-за параллельности сторон у этих треугольников равны углы, образованные диагональю, а диагональ у них общая. Поэтому треугольники равны, а их соответствующие стороны, то есть противоположные стороны параллелограмма, равны.
Как найти остальные углы, если известен один угол параллелограмма?
Противоположный известному угол равен ему. Каждый соседний угол в сумме с известным составляет 180°, поэтому его можно найти вычитанием из 180°. Например, если угол равен 65°, соседние равны 115°.
На какие треугольники диагональ делит параллелограмм?
Любая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Например, диагональ AC образует треугольники ABC и CDA. У них равны соответствующие стороны и углы.
21. Параллелограммы
