22. Координаты, координаты, координаты

Определения и обозначения

Координатная плоскость — плоскость с двумя перпендикулярными координатными осями, по которым задают положение точек. Представь лист с двумя пересекающимися под прямым углом числовыми прямыми. Такая система нужна, чтобы описывать положение точки сразу по двум направлениям.

Координатные оси — две пересекающиеся перпендикулярные числовые прямые: горизонтальная ось абсцисс и вертикальная ось ординат. Ось абсцисс обычно направлена слева направо, а ось ординат — снизу вверх. По первой определяют горизонтальное положение точки, по второй — вертикальное.

Начало координат — общая точка координатных осей, обозначаемая O; её координаты равны (0; 0). От этой точки начинают отсчёт при поиске или построении координат. Поэтому ноль стоит в обеих координатах начала.

Координаты точки — пара чисел, которая показывает её положение на плоскости: первое число задаёт движение вдоль оси абсцисс, второе — вдоль оси ординат. Их записывают в круглых скобках через точку с запятой, например (3; 2). Порядок важен: если поменять числа местами, получится другое положение.

Как это устроено

Чтобы найти точку на числовой прямой, достаточно указать одно число: прямое направление у неё только одно. На плоскости этого мало, потому что точка может находиться не только правее или левее, но и выше или ниже. Поэтому положение задают двумя числами: одно отвечает за движение по горизонтали, другое — по вертикали. Так можно однозначно описать место точки, словно назвать сначала улицу, а затем номер дома.

Оси пересекаются в начале координат и делят плоскость на четыре части. Это происходит потому, что у каждой оси есть два направления: вправо и влево, вверх и вниз. На обеих осях отмечают единичный отрезок — отрезок, длина которого принята за одну единицу. Благодаря одинаковой единице можно измерять расстояние от начала координат и сравнивать положения точек.

Координаты точки находят по её проекциям на оси. Проекция помогает увидеть, на каком делении оси окажется точка, если мысленно опустить от неё перпендикуляр к оси. Сначала считывают координату по горизонтали, то есть по оси абсцисс, а затем — по вертикали, по оси ординат. Такой порядок совпадает с порядком чисел в записи и помогает не перепутать их.

Порядок чисел в паре важен, потому что каждое число отвечает за своё направление. Запись (3; 2) означает: от начала координат пройти три единицы вправо, затем две вверх. Запись (2; 3) означает две единицы вправо и три вверх, поэтому точка окажется в другом месте. Чтобы проверить построение, можно мысленно провести от точки линии к обеим осям и прочитать значения в нужном порядке.

Отрицательные координаты показывают движение в сторону, противоположную положительному направлению: влево по оси абсцисс или вниз по оси ординат. Например, при координатах (−2; −3) нужно пройти две единицы влево и три вниз. Если одна координата равна нулю, движения вдоль соответствующего направления нет. Тогда точка лежит прямо на другой оси: это не отсутствие положения, а вполне определённое место.

Элементы координатной плоскости и их назначение

Пользуйся таблицей, чтобы вспомнить, какая ось отвечает за каждое направление и откуда начинается отсчёт. Когда читаешь пару чисел, сначала найди значение по оси абсцисс, потом — по оси ординат. При построении точки проверь обе координаты отдельно: так легче заметить ошибку.

Разбор задач

Задача 1. На координатной прямой отметь число 4 и назови его координату. Здесь используется одна числовая ось, поэтому для положения числа достаточно одного значения. Двигаться нужно от нуля в сторону положительных чисел.

1. Найди на прямой начало отсчёта — точку 0.
2. Посмотри, где направлены положительные числа; обычно это направление вправо.
3. От нуля отсчитай четыре единичных отрезка и поставь отметку.
4. Число, стоящее над этой отметкой, и есть координата точки на прямой.

Ответ: координата отмеченной точки — 4.

Задача 2. Отметь на координатной плоскости точку A(3; 2). В записи уже дан порядок действий: первое число отвечает за горизонтальное направление, второе — за вертикальное. Начать нужно в общей точке осей, иначе отсчёт не будет соответствовать координатам.

1. Найди начало координат O — точку пересечения осей.
2. По оси абсцисс отложи от O три единицы вправо и мысленно проведи через полученную отметку линию вверх.
3. По оси ординат отложи две единицы вверх и проведи через отметку линию вправо.
4. Поставь A в месте пересечения этих линий. Проверь: от O до A по горизонтали три единицы, по вертикали две.

Ответ: точка A(3; 2) находится на три единицы правее и на две единицы выше начала координат.

Задача 3. Определи координаты точки B, если от начала координат до неё нужно пройти 2 единицы влево и 3 единицы вниз. Здесь сначала нужно определить знаки координат, а затем записать числа в установленном порядке. Движение влево и вниз соответствует отрицательным направлениям.

1. Поскольку точка находится левее O, её первая координата отрицательная: −2.
2. Поскольку точка расположена ниже O, её вторая координата тоже отрицательная: −3.
3. Запиши сначала координату по оси абсцисс, потом по оси ординат, разделив числа точкой с запятой.
4. Проверь ответ по направлениям: первая координата ведёт влево, вторая — вниз.

Ответ: B(−2; −3).

Типичные ошибки

Меняют координаты местами. Тогда число, которое должно задавать движение по горизонтали, ошибочно используют для вертикального движения. Так бывает, если не помнить, что оси читают в одном и том же порядке. Проверь себя: первое число должно соответствовать оси абсцисс, второе — оси ординат.

Считают координаты от края рисунка. Край листа или сетки не является точкой отсчёта, поэтому такое построение сдвигает точку. Ошибку легко допустить, если начать считать от ближайшей границы. Найди пересечение осей O и отсчитывай расстояния только от него.

Забывают поставить минус при движении влево или вниз. Без знака число означает движение в положительном направлении: вправо или вверх. Минус может потеряться, когда считают только количество шагов. Сначала назови направление, а затем поставь знак: влево и вниз — отрицательные координаты.

Думают, что точка с нулевой координатой не имеет положения. Ноль означает не отсутствие точки, а отсутствие движения по одному из направлений. Путаница возникает, если считать, что для существования точки оба числа должны быть ненулевыми. Проверь, какая координата равна нулю: при нулевой первой точка лежит на оси ординат, при нулевой второй — на оси абсцисс.

Связь с другими темами

Для работы с координатами нужно уметь пользоваться числовой прямой: отмечать на ней числа и различать положительные и отрицательные значения. Эти навыки помогают правильно выбрать направление и не потерять знак координаты. Координатная система пригодится при чтении карт, планов и схем, где положение объекта описывают относительно выбранных направлений. Позже с её помощью изучают графики и расположение геометрических фигур на плоскости.

Что запомнить

• Координатную плоскость задают две перпендикулярные числовые оси.
• Общая точка осей — начало координат O.
• Координаты точки записывают парой чисел.
• Первой указывают координату по оси абсцисс, второй — по оси ординат.
• Движение влево и вниз соответствует отрицательным координатам.
• Точка с одной нулевой координатой лежит на одной из осей.