23. Оригами

Определения и обозначения

Оригами — искусство складывания фигур из листа бумаги без разрезания и склеивания. В нём используются геометрические формы: сгибы могут делить лист на части, образовывать углы и линии, а сами части бумаги складываются в фигуры. Это нужно не только для создания бумажных моделей: складывание помогает наглядно выполнять некоторые построения.

Линия сгиба — линия, по которой складывают бумагу. Она может проходить внутри листа, а не совпадать с его краем. После разворачивания линия остаётся заметной и служит следом геометрического построения: по ней можно увидеть, где лист был разделён или как расположены части.

Совмещение — наложение одной части листа на другую при складывании. При точном совмещении выбранные точки или линии оказываются на одном месте, словно одна часть листа закрывает другую. Это важно, потому что расположение сгиба зависит от того, что именно совмещают: края, две точки или стороны угла.

Как это устроено

Когда лист складывают, одна его часть накрывает другую, и между ними появляется линия контакта — сгиб. Бумага сохраняет след этого перегиба, поэтому после разворачивания на листе видна линия, даже если его снова расправили. Этот след можно рассматривать как результат построения: он показывает, где проходил сгиб и какие части листа были совмещены.

Представь две отмеченные на листе точки и отрезок, который соединяет их. Если согнуть бумагу так, чтобы точки оказались одна поверх другой, сгиб проходит через место, одинаково удалённое от обеих точек. Это середина отрезка: сгиб делит его на две равные части. Кроме того, линия сгиба стоит к отрезку под прямым углом, потому что при складывании одна точка отражается в другую через линию сгиба; так получают серединный перпендикуляр.

Угол можно сложить так, чтобы одна его сторона легла точно на другую. При таком совмещении точки одной стороны переходят в соответствующие точки другой стороны, а сгиб проходит посередине угла. Поэтому угол по обе стороны сгиба получается одинаковым. Линия, которая делит угол на две равные части, называется биссектрисой угла.

Повторные сгибы дают возможность делить лист на равные части. Например, сначала можно сложить лист пополам, а затем ещё раз пополам: при точном совмещении краёв части будут одинаковыми. Сгибая бумагу по-разному, можно получать линии, углы и простые геометрические фигуры. Какой именно результат получится, зависит от того, какие края, точки или стороны совмещают.

Проверить построение можно по сгибам на расправленном листе. Сравни, одинаковы ли получившиеся части, проходит ли линия через нужные точки и совпали ли при складывании заданные края или стороны. Если сгиб смещён или части не совпадают, значит, бумагу сложили неточно. Такая проверка помогает заметить ошибку без специальных инструментов.

Геометрические действия при складывании бумаги

Таблица показывает, какое действие выполнить, что при этом совместить и какой геометрический результат даёт сгиб. Сначала выбери нужную строку, затем точно совмещай указанные части листа. После разворачивания сравни полученный след сгиба с тем, что описано в последнем столбце.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Сложите прямоугольный лист пополам так, чтобы совместились два противоположных края. Разверните его и отметьте линию сгиба. Нужно выяснить, что показывает этот след.

1. Возьми лист и выбери два противоположных края, которые нужно совместить. Проверь, что край одного слоя точно лежит на крае другого: если они сдвинуты, лист сложен не пополам.
2. Аккуратно прижми сгиб, чтобы он стал хорошо заметен. Разверни лист и найди оставшуюся линию.
3. Сравни две части по разные стороны линии: при правильном складывании они равны, поскольку одна часть накрывала другую.

Ответ. Сгиб показывает середину листа и делит его на две равные части.

Задача 2

Условие. На листе отмечены две точки. Сложите лист так, чтобы точки совпали, разверните его и объясните положение линии сгиба относительно отрезка между точками.

1. Представь отрезок, соединяющий отмеченные точки. Согни лист так, чтобы одна точка легла точно на другую, и прижми сгиб.
2. Разверни лист и найди след. Сгиб проходит на одинаковом расстоянии от обеих точек, потому что при складывании точки были наложены друг на друга.
3. Значит, след проходит через середину отрезка. Он перпендикулярен отрезку, то есть образует с ним прямой угол.

Ответ. Линия сгиба — серединный перпендикуляр к отрезку между точками.

Задача 3

Условие. Сложите лист так, чтобы одна сторона нарисованного угла наложилась на другую. Разверните лист и покажите, как сгиб делит угол. Нужно проследить, почему получается деление пополам.

1. Найди вершину угла и обе его стороны. Сгибай лист так, чтобы стороны совместились по всей длине, а не только в одной точке.
2. Прижми сгиб и разверни бумагу. След сгиба выходит из вершины угла и проходит между его сторонами.
3. При складывании одна сторона легла на другую, поэтому части угла по обе стороны сгиба совпадают. Значит, они равны.

Ответ. Сгиб является биссектрисой угла и делит его на две равные части.

Типичные ошибки

Ошибка — считать линией сгиба только край листа. Так думают, потому что именно края бумаги обычно заметнее всего при складывании. Но сгиб может проходить внутри листа и после разворачивания оставляет там след. Проверь себя: расправь бумагу и посмотри, видна ли линия между её краями.

При построении серединного перпендикуляра можно совместить точки неточно. Тогда сгиб сместится и не пройдёт через середину отрезка, хотя будет казаться, что точки почти совпали. Такая ошибка возникает, если торопиться или не проверять наложение. Сравни точки на сложенном листе: они должны оказаться точно одна над другой.

При делении угла пополам иногда совмещают не его стороны, а другие линии рядом. Тогда сгиб не обязан делить нужный угол на равные части. Ошибку допускают, если не определить заранее вершину и стороны угла. Проверь построение: после сгибания одна сторона угла должна целиком лечь на другую.

Не всякое складывание сразу даёт нужную геометрическую фигуру. Результат зависит от того, какие части бумаги совмещают и в каком месте делают сгиб. Можно получить неверную линию, если выбрать не те края или точки. Перед складыванием уточни цель, а после разворачивания сравни получившиеся части и линии с требуемым результатом.

Связь с другими темами

Для работы со сгибами нужно распознавать прямую, отрезок и угол, находить середину отрезка и сравнивать длины. Эти знания помогают понять, что именно получилось на листе после разворачивания. Также полезно уметь сравнивать углы, чтобы проверить деление угла пополам.

Свойства сгибов связывают оригами с перпендикулярными прямыми, серединным перпендикуляром и биссектрисой угла. Сгиб, совмещающий две точки, даёт серединный перпендикуляр, а совмещение сторон угла помогает получить его биссектрису. Бумажные построения позволяют увидеть эти свойства на практике.

Приёмы оригами пригодятся при изучении геометрических построений и осевой симметрии. Сгиб может служить осью, относительно которой части листа совпадают. Поэтому складывание помогает не только создавать фигуры, но и лучше понимать расположение равных частей и линий.

Что запомнить

• Оригами строится на складывании бумаги.
• Линия сгиба остаётся на листе после его разворачивания.
• Совмещение двух точек создаёт сгиб, перпендикулярный отрезку между ними и проходящий через его середину.
• Если совместить стороны угла, сгиб даст его биссектрису.
• Точность построения зависит от точности совмещения.