24. Замечательные кривые

Определения и обозначения

Эллипс — замкнутая кривая, для каждой точки которой сумма расстояний до двух заданных точек, называемых фокусами, одинакова. Если точка эллипса перемещается, одно расстояние может увеличиться, а другое уменьшиться, но их сумма не меняется. Это условие позволяет не просто нарисовать овал на глаз, а проверить, принадлежит ли точка эллипсу. Построить такую кривую можно с помощью нити и двух булавок.

Парабола — кривая, каждая точка которой одинаково удалена от заданной точки и заданной прямой. Точку называют фокусом, а прямую — директрисой. Поэтому для проверки точки нужны сразу два измерения: до фокуса и до прямой. Равенство этих расстояний и определяет, лежит ли точка на параболе.

Гипербола — кривая, для точек которой разность расстояний до двух фокусов постоянна. Это не означает, что сами расстояния одинаковы: одно из них всегда больше другого на одну и ту же величину. Кривая состоит из двух отдельных частей, которые называются ветвями. Это правило помогает отличить гиперболу от замкнутых кривых.

Циклоида — кривая, которую описывает точка на ободе круга, катящегося без скольжения по прямой. Здесь форма задаётся не расстояниями до неподвижных точек, а движением круга. Пока круг катится, его центр движется по прямой, а точка обода вращается вокруг центра. Такое описание объясняет, откуда берутся дуги циклоиды.

Как это устроено

Кривую можно задать рисунком, но рисунок не всегда точно показывает, какие точки ей принадлежат. Поэтому геометры используют правило, которое должно выполняться для каждой точки кривой. В таком правиле могут участвовать расстояния до заданных точек, удалённость от прямой или движение какого-либо предмета. По одному условию можно и построить кривую, и проверить уже отмеченную точку.

Для построения эллипса закрепляют два конца нити в точках-фокусах, а карандашом натягивают петлю. Когда карандаш движется, части нити от одного фокуса до карандаша и от карандаша до другого в сумме всё время составляют полную длину нити. Поэтому сумма расстояний до фокусов остаётся постоянной, а карандаш чертит эллипс. Если нить не натянута, это правило нарушается и линия может получиться неправильной.

Фокус параболы — точка, а директриса — прямая; расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру. На параболе расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы. Когда точку переносят, сохраняя это равенство, она перемещается по кривой, а не куда угодно на плоскости. Если собрать все такие точки по обе стороны от направления, заданного фокусом и директрисой, они образуют две симметричные части одной параболы, которые сходятся к её вершине.

У гиперболы важно не равенство расстояний, а постоянная разность между ними. Например, можно выбрать точки, у которых одно расстояние на заданную величину больше другого, и затем продолжить это правило для других точек. Одни подходящие точки располагаются с одной стороны от фокусов, другие — с противоположной. Между этими областями нет непрерывного пути по самой кривой, поэтому гипербола состоит из двух отдельных ветвей.

При качении круга без скольжения его центр перемещается по прямой: за один полный оборот круг продвигается на длину своей окружности. В то же время выбранная точка обода поворачивается вокруг центра. Эти два движения происходят одновременно, поэтому точка сначала поднимается, затем опускается и касается прямой в нижней точке дуги. Повторяя движение, она проходит следующие дуги циклоиды.

Замечательные кривые: как заданы и как выглядят

Сначала найди в таблице правило, по которому задаётся нужная кривая, а затем посмотри, как выглядят её основные части. Последний столбец подсказывает, как получить линию на практике или представить её построение. Особенно полезно сравнить эллипс и гиперболу: у них участвуют два фокуса, но в одном случае постоянна сумма расстояний, а в другом — разность.

Разбор задач

Построить эллипс, если заданы два фокуса и длина нити

Даны два фокуса и нить известной длины. Нужно начертить линию, для каждой точки которой сумма расстояний до фокусов равна длине нити. Важно всё время удерживать нить натянутой: только тогда она задаёт нужное правило.

1. Отметь на листе два фокуса и закрепи в них концы нити. Проверь, что петля свободно двигается, а карандаш может её натянуть.
2. Поставь карандаш внутрь петли и отведи его так, чтобы нить натянулась. Два отрезка нити от карандаша до фокусов вместе имеют неизменную длину.
3. Медленно перемещай карандаш, не ослабляя натяжение. Проследи, чтобы линия вернулась к начальной точке и замкнулась.

Ответ: получена замкнутая линия — эллипс. Длина нити равна сумме расстояний от карандаша до двух фокусов в каждой точке линии.

Проверить, принадлежит ли точка параболе

На рисунке отмечены фокус, директриса и точка. Нужно решить, лежит ли она на параболе, заданной этими фокусом и прямой. По одному расстоянию ответить нельзя: определяющее условие сравнивает их. Для расстояния до директрисы берут кратчайший отрезок, который перпендикулярен прямой.

1. Измерь расстояние от отмеченной точки до фокуса. Запиши полученную длину, не округляя её раньше времени.
2. Найди расстояние от точки до директрисы: проведи к прямой перпендикуляр и измерь его. Именно этот отрезок показывает кратчайшее расстояние до прямой.
3. Сравни два результата. Если они равны, точка удовлетворяет условию параболы; если различаются, она на этой параболе не лежит.

Ответ: точка принадлежит параболе только при равенстве двух измеренных расстояний. Если длины не совпали, точка не подходит, даже если на глаз кажется близкой к кривой.

Изобразить траекторию точки на ободе колеса

Колесо катится без скольжения по прямой, и нужно изобразить путь точки на его ободе. Точка не движется только вверх-вниз: центр колеса продвигается вперёд, а сама точка вращается вокруг центра. Поэтому нужно учитывать оба движения одновременно, а не рисовать окружность или прямую.

1. Нарисуй прямую, по которой катится колесо, и отметь начальное касание обода с этой прямой. В этом положении выбранная точка может находиться внизу.
2. Изобрази несколько промежуточных положений колеса. Центр сдвигай вперёд, а положение точки на ободе поворачивай вокруг центра в направлении качения.
3. Соедини положения точки плавной линией. После полного оборота колесо продвинется на длину своей окружности, а точка завершит одну дугу циклоиды.

Ответ: траектория состоит из дуг циклоиды с острыми точками касания прямой. После одного полного оборота точка окажется на прямой в следующей точке касания, сдвинутой на длину окружности колеса.

Типичные ошибки

Эллипс иногда называют окружностью, потому что обе линии замкнуты и могут быть похожи на овал. Но окружность — только частный случай эллипса, когда фокусы совпадают; проверь, меняются ли расстояния до двух разных фокусов. Ещё одна ошибка — считать постоянной разность этих расстояний. Для эллипса постоянна именно сумма, а разность относится к определению гиперболы.

При проверке параболы можно перепутать фокус с директрисой или измерить только расстояние до фокуса. Тогда проверка неполная: фокус — точка, директриса — прямая, и нужно сравнить расстояния до обоих объектов. До прямой измеряй по перпендикуляру, иначе получишь не кратчайшее расстояние. Самопроверка проста: точка подходит только тогда, когда обе длины равны.

Гиперболу иногда рисуют одной замкнутой линией, принимая её за овал. Это происходит, если ориентироваться только на общий вид кривой, а не на условие с двумя фокусами. У гиперболы две раздельные ветви, между которыми нет участка этой кривой. Проверь рисунок: если части соединены в замкнутую линию, это не гипербола.

Связь с другими темами

Чтобы изучать эти кривые, нужно уметь измерять расстояния и пользоваться линейкой и циркулем. Помогает и понятие геометрического места точек: так называют все точки, которые выполняют одно общее условие. Например, у эллипса таким условием служит постоянная сумма расстояний до фокусов. Эти же кривые встречаются в архитектуре, технике и природе, а их свойства изучают дальше в геометрии и при исследовании движения.

Что запомнить

• Кривую можно задать общим условием для всех её точек.
• Для эллипса сумма расстояний от точки кривой до двух фокусов постоянна.
• У окружности все точки равно удалены от центра.
• Для параболы расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.
• Гипербола состоит из двух ветвей.
• Циклоида возникает при качении круга без скольжения.