"Математика. Наглядная геометрия", Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н.
Кривая дракона начинается с обычного отрезка, но после многих повторений простого правила превращается в сложный узор. На каждом шаге каждое звено заменяют двумя звеньями, соединёнными под прямым углом. Поэтому число звеньев удваивается, а рисунок становится всё более извилистым. Изучая построение, можно увидеть, как из простого действия возникает фигура, похожая на кривую, и как в её частях повторяется общий рисунок.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Кривая дракона — фигура, которую получают, многократно повторяя простое правило построения. Начинают с отрезка и постепенно заменяют его части так, что получается всё более извилистая ломаная. Это определение помогает увидеть главное: сложный узор возникает не сразу, а из многих одинаково устроенных шагов.
Ломаная — фигура из отрезков, которые соединены концами. Отрезки называют звеньями, а точки их соединения — вершинами. Первые этапы кривой дракона являются ломаными, потому что состоят из прямых звеньев и имеют вершины в местах поворотов. Это слово позволяет точно описывать, что именно мы строим на каждом шаге.
Итерация — один шаг повторения правила. Например, если применить правило к исходному отрезку, получится первый этап; применить его ещё раз — второй. Каждый новый этап строят на основе предыдущего, а не начинают заново. Понятие итерации помогает считать шаги и сравнивать фигуры.
Самоподобие — сходство частей фигуры с фигурой целиком. У кривой дракона некоторые участки узора напоминают общий рисунок, хотя они меньше и повёрнуты по-другому. Это свойство помогает замечать повторения внутри сложной фигуры и понимать, как устроен её узор.
Построение начинают с одного отрезка, потому что нужна простая исходная фигура, к которой можно применить правило. У отрезка есть направление, поэтому удобно заранее считать один конец началом, а другой — концом. Когда появятся новые звенья, это поможет понять, где продолжать ломаную. На первом шаге один отрезок станет основой всей дальнейшей конструкции.
Полоску бумаги можно сложить пополам, а затем распрямить: на ней появится сгиб под прямым углом к прежнему направлению. Этот опыт подсказывает, как заменить прямой ход двумя звеньями ломаной. Вместо сгиба мы рисуем два отрезка, соединённые в вершине; между ними образуется прямой угол. Так правило поворота можно не только запомнить, но и представить руками.
На каждом шаге каждое звено заменяют двумя новыми звеньями с прямым углом между ними. Однако недостаточно повернуть все звенья в одну и ту же сторону: направления поворотов выбирают по порядку, который задаёт построение кривой дракона. Такой порядок связан с последовательностью сгибов бумажной полоски. Если сохранять его на каждом этапе, отдельные части соединяются в общий рисунок, а не превращаются в случайный зигзаг.
После замены каждого звена их становится в два раза больше: например, из двух получается четыре, а из четырёх — восемь. При этом каждое новое звено делают короче прежнего, чтобы ломаная становилась более подробной и сохраняла общий размер. Поэтому нельзя судить о всей фигуре по длине одного отрезка: звенья мельчают, но их становится больше. Удвоение числа звеньев — удобный способ проверить, верно ли выполнен очередной шаг.
После многих итераций повороты следуют друг за другом так часто, что общий рисунок уже напоминает кривую, хотя каждый конечный этап всё ещё состоит из прямых отрезков. Мелкие участки не выглядят точными копиями всей фигуры, но в их форме можно заметить похожие изгибы и повторения. Это и показывает самоподобие узора. Сложность возникает потому, что одно правило снова и снова применяется ко всем звеньям.
В таблице показано, как меняется ломаная при первых заменах. Сравнивай число звеньев на соседних этапах: оно должно удваиваться. В последнем столбце отмечено, как постепенно усложняется рисунок.
| Этап | Что делают | Число звеньев | Что заметно |
|---|---|---|---|
| Исходный | Берут один отрезок | 1 | Начало построения |
| Первый | Заменяют отрезок двумя звеньями с прямым углом | 2 | Появляется ломаная |
| Второй | Повторяют правило для каждого звена | 4 | Ломаная становится сложнее |
| Третий | Снова заменяют каждое звено | 8 | Рисунок всё больше напоминает кривую |
Условие. Постройте первый этап кривой дракона, начав с горизонтального отрезка. Нужно показать, как один отрезок превращается в два звена. Сначала решим, где будет вершина, а затем проверим угол между звеньями.
Ответ: первый этап состоит из двух звеньев с прямым углом между ними. Выбранное направление поворота нужно сохранить в последующих шагах, чтобы ломаная строилась по одному правилу.
Условие. Сколько звеньев будет у ломаной после четырёх этапов замен, если сначала было одно звено? Здесь важно считать именно замены, а не путать исходный отрезок с первым этапом. Каждый раз одно звено даёт два новых.
Ответ: 16 звеньев. Последовательность 1, 2, 4, 8, 16 показывает, что каждый результат вдвое больше предыдущего.
Условие. На рисунке показана часть ломаной, построенной по правилу кривой дракона. Нужно продолжить её на один этап и объяснить направления поворотов. Даже если виден лишь участок, замена должна относиться ко всем звеньям имеющейся ломаной.
Ответ: каждый отрезок показанной ломаной нужно заменить двумя звеньями с прямым углом. Направления выбирают по одному порядку, продолжая рисунок, а не поворачивая только последнее звено.
Считать, что на новом этапе добавляется только одно звено. Так можно подумать, если смотреть лишь на одну вершину и не учитывать остальные отрезки. Но каждое прежнее звено заменяется двумя, поэтому общее число удваивается. Проверь себя: если было 4 звена, на следующем этапе должно стать 8.
Поворачивать звенья на произвольные углы. При рисовании от руки легко сделать поворот «примерно таким же», но узор перестанет соответствовать правилу. Между новыми звеньями нужен прямой угол. Проверить его можно угольником или сравнением с углом листа тетради.
Заменять только последнее звено. Так бывает, когда построение воспринимают как продолжение линии, а не как новый этап всей фигуры. Правило применяется ко всем звеньям предыдущей ломаной. Пересчитай их и убедись, что каждое превратилось в пару.
Путать длину одного звена с длиной всей ломаной. Если новые отрезки короче, может показаться, что фигура становится меньше или проще. На деле звеньев больше, и общий рисунок усложняется. Сравни отдельно размер одного звена и число звеньев — это разные характеристики.
Для построения нужно различать отрезок, вершину и ломаную, а также узнавать прямой угол. Эти знакомые геометрические понятия помогают правильно изобразить каждую замену. Кроме того, кривая дракона связывает геометрию с последовательностями: число звеньев меняется по правилу удвоения. Повторение одной операции пригодится при изучении закономерностей и геометрических преобразований.
Почему эту фигуру называют кривой, если её строят из отрезков?
На каждом конечном этапе это ломаная, то есть фигура из отрезков. Но при повторении правила звенья становятся всё мельче, а общий рисунок — всё более извилистым. Поэтому его называют кривой дракона.
С чего начинается построение кривой дракона?
С одного отрезка — исходной фигуры. Затем его заменяют двумя звеньями, образующими прямой угол.
Что именно нужно делать с каждым звеном на новом этапе?
Каждое звено предыдущей ломаной нужно заменить двумя звеньями с поворотом на 90°. Направления поворотов выбирают по одному и тому же правилу, чтобы сохранялся рисунок кривой дракона.
Почему число звеньев быстро увеличивается?
Потому что каждое звено превращается в два. Поэтому число звеньев каждый раз удваивается: 1, 2, 4, 8, 16 и так далее.
Как определить, куда повернуть следующее звено?
Нужно следовать заданному порядку поворотов, а не выбирать направление случайно. При продолжении готовой ломаной применяй правило к каждому звену и сохраняй порядок поворотов, заданный построением.
25. Кривые Дракона
